Всеки от нас хвърляше камъни в небето и наблюдаваше траекторията на падането им. Това е най-често срещаният пример за движение на твърдо тяло в полето на гравитационните сили на нашата планета. В тази статия ще разгледаме формули, които могат да бъдат полезни за решаване на задачи за свободното движение на тяло, хвърлено към хоризонта под ъгъл.
Концепцията за движение към хоризонта под ъгъл
Когато на някакъв твърд обект се даде начална скорост и той започне да набира височина и след това отново да пада на земята, общоприето е, че тялото се движи по параболична траектория. Всъщност решението на уравненията за този тип движение показва, че линията, описана от тялото във въздуха, е част от елипса. Въпреки това, за практическа употреба, параболичното приближение се оказва доста удобно и води до точни резултати.
Примери за движение на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, са изстрелване на снаряд от дулото на оръдие, ритане на топка и дори скачане на камъчета по повърхността на водата („жаби“), които са Държанимеждународни състезания.
Видът на движение под ъгъл се изучава от балистиката.
Свойства на разглеждания тип движение
Когато се разглежда траекторията на тялото в полето на земните гравитационни сили, следните твърдения са верни:
- познаването на първоначалната височина, скорост и ъгъл спрямо хоризонта ви позволява да изчислите цялата траектория;
- ъгълът на излитане е равен на ъгъла на падане на тялото, при условие че първоначалната височина е нула;
- вертикалното движение може да се разглежда независимо от хоризонталното движение;
Забележете, че тези свойства са валидни, ако силата на триене по време на полета на тялото е незначителна. В балистиката, когато се изучава полета на снаряди, се вземат предвид много различни фактори, включително триене.
Видове параболично движение
В зависимост от височината, от която започва движението, на каква височина завършва и как е насочена началната скорост, се разграничават следните видове параболично движение:
- Пълна парабола. В този случай тялото се изхвърля от повърхността на земята и то пада върху тази повърхност, описвайки пълна парабола.
- Половината от парабола. Такава графика на движението на тялото се наблюдава, ако то е хвърлено от определена височина h, насочвайки скоростта v успоредно на хоризонта, тоест под ъгъл θ=0o.
- Част от парабола. Такива траектории възникват, когато тялото е хвърлено под някакъв ъгъл θ≠0o и разликатаначалната и крайната височина също са различни от нула (h-h0≠0). Повечето траектории на движение на обекти са от този тип. Например изстрел от оръдие, стоящо на хълм, или баскетболист, хвърлящ топка в кош.
Графиката на движението на тялото, съответстваща на пълна парабола, е показана по-горе.
Необходими формули за изчисление
Нека дадем формули за описание на движението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта. Пренебрегвайки силата на триене и като вземем предвид само силата на гравитацията, можем да напишем две уравнения за скоростта на обект:
vx=v0cos(θ)
vy=v0sin(θ) - gt
Тъй като гравитацията е насочена вертикално надолу, тя не променя хоризонталния компонент на скоростта vx, така че няма зависимост от времето в първото равенство. Компонентът vy от своя страна се влияе от гравитацията, което дава на g ускорение на тялото, насочено към земята (оттук и знакът минус във формулата).
Сега нека напишем формули за промяна на координатите на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта:
x=x0+v0cos(θ)t
y=y0+ v0sin(θ)t - gt2 /2
Начална координата x0често се приема за нула. Координатата y0 не е нищо друго освен височината h, от която тялото е изхвърлено (y0=h).
Сега нека изразим времето t от първия израз и да го заместим във втория, получаваме:
y=h + tg(θ)x - g /(2v02cos 2(θ))x2
Този израз в геометрията съответства на парабола, чиито клони са насочени надолу.
Уравненията по-горе са достатъчни, за да се определят характеристиките на този тип движение. И така, тяхното решение води до факта, че максималният обхват на полета се постига, ако θ=45o, докато максималната височина, до която се издига хвърленото тяло, се постига при θ=90o.
