При изучаване на механичното движение във физиката, след като се запознаят с равномерното и равномерно ускорено движение на обектите, те пристъпват към разглеждане на движението на тяло под ъгъл спрямо хоризонта. В тази статия ще проучим този въпрос по-подробно.
Какво е движението на тяло под ъгъл спрямо хоризонта?
Този тип движение на обекта се случва, когато човек хвърли камък във въздуха, оръдие изстреля топче или вратар изрита футболна топка от вратата. Всички подобни случаи се разглеждат от балистическата наука.
Отбелязаният тип движение на обекти във въздуха се случва по параболична траектория. В общия случай извършването на съответните изчисления не е лесна задача, тъй като е необходимо да се вземе предвид съпротивлението на въздуха, въртенето на тялото по време на полет, въртенето на Земята около оста й и някои други фактори.
В тази статия няма да вземем предвид всички тези фактори, а ще разгледаме въпроса от чисто теоретична гледна точка. Въпреки това, получените формули са доста добриописват траекториите на тела, движещи се на къси разстояния.
Получаване на формули за разглеждания тип движение
Нека изведем формулите за движението на тялото към хоризонта под ъгъл. В този случай ще вземем предвид само една единствена сила, действаща върху летящ обект - гравитацията. Тъй като действа вертикално надолу (успоредно на оста y и срещу нея), тогава, като се имат предвид хоризонталните и вертикалните компоненти на движението, можем да кажем, че първото ще има характера на равномерно праволинейно движение. И второто - еднакво бавно (равномерно ускорено) праволинейно движение с ускорение g. Тоест компонентите на скоростта чрез стойността v0 (начална скорост) и θ (ъгълът на посоката на движение на тялото) ще бъдат записани, както следва:
vx=v0cos(θ)
vy=v0sin(θ)-gt
Първата формула (за vx) винаги е валидна. Що се отнася до втория, тук трябва да се отбележи един нюанс: знакът минус преди произведението gt се поставя само ако вертикалната съставка v0sin(θ) е насочена нагоре. В повечето случаи това се случва обаче, ако хвърлите тяло от височина, насочвайки го надолу, тогава в израза за vy трябва да поставите знак "+" преди g t.
Интегрирайки формулите за компонентите на скоростта във времето и като вземем предвид началната височина h на полета на тялото, получаваме уравненията за координатите:
x=v0cos(θ)t
y=h+v0sin(θ)t-gt2/2
Изчислете обхвата на полета
Когато се разглежда във физиката движението на тялото към хоризонта под ъгъл, полезен за практическа употреба, се оказва, че се изчислява обхватът на полета. Нека го дефинираме.
Тъй като това движение е равномерно движение без ускорение, достатъчно е да го замените с времето за полет и да получите желания резултат. Обхватът на полета се определя единствено от движението по оста x (успоредно на хоризонта).
Времето, в което тялото е във въздуха, може да се изчисли чрез приравняване на координатата y на нула. Имаме:
0=h+v0sin(θ)t-gt2/2
Това квадратно уравнение се решава чрез дискриминанта, получаваме:
D=b2- 4ac=v02sin 2(θ) - 4(-g/2)h=v02 sin2(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v0sin(θ)±√(v0 2sin2(θ) + 2gh))/(-2g/2)=
=(v0sin(θ)+√(v02 sin2(θ) + 2gh))/g.
В последния израз се отхвърля един корен със знак минус, поради незначителната му физическа стойност. Замествайки времето на полета t в израза за x, получаваме обхвата на полета l:
l=x=v0cos(θ)(v0sin(θ)+√(v 02sin2(θ) + 2gh))/g.
Най-лесният начин да анализирате този израз е, ако първоначалната височинае равно на нула (h=0), тогава получаваме проста формула:
l=v 02sin(2θ)/g
Този израз показва, че максималният обхват на полета може да се получи, ако тялото е хвърлено под ъгъл от 45o(sin(245o )=m1).
Максимална височина на тялото
Освен обхвата на полета е полезно да се намери и височината над земята, до която тялото може да се издигне. Тъй като този тип движение се описва с парабола, клоните на която са насочени надолу, максималната височина на повдигане е нейният екстремум. Последното се изчислява чрез решаване на уравнението за производната по отношение на t за y:
dy/dt=d(h+v0sin(θ)t-gt2/2)/dt=v0sin(θ)-gt=0=>
=>t=v0sin(θ)/g.
Заместете този път в уравнението за y, получаваме:
y=h+v0sin(θ)v0sin(θ)/g-g(v 0sin(θ)/g)2/2=h + v0 2sin2(θ)/(2g).
Този израз показва, че тялото ще се издигне до максималната височина, ако бъде хвърлено вертикално нагоре (sin2(90o)=1).
