Дадена е най-простата тригонометрична функция y=Sin(x), тя е диференцируема във всяка своя точка от цялата област на дефиниция. Необходимо е да се докаже, че производната на синуса на всеки аргумент е равна на косинуса на същия ъгъл, тоест y'=Cos(x).
Доказателството се основава на дефиницията на производната на функцията
Задайте x (произволно) в някаква малка околия Δx на конкретна точка x0. Нека покажем стойността на функцията в него и в точката x, за да намерим приращението на дадената функция. Ако Δх е нарастването на аргумента, тогава новият аргумент е x0+Δx=x, стойността на тази функция за дадена стойност на аргумента y(x) е Sin(х 0 +Δx), стойността на функцията в определена точка y(x0) също е известна.
Сега имаме Δу=Sin(х0+Δх)-Sin(х0) е полученото увеличение на функцията.
Съгласно формулата на синуса на сбора от два неравни ъгъла, ще трансформираме разликата Δу.
Δy=Sin(x0) Cos(Δx)+Cos(x0) Sin(Δx) минус Sin (x 0)=(Cos(Δx)-1) Sin(x0)+Cos(x0 ) Sin(Δх).
Извършена пермутациятермини, групирани първият с третия Sin(x0), поставят общия множител - синус - извън скоби. Получаваме разликата Cos(Δх)-1 в израза. Остава да промените знака преди скобата и в скоби. Знаейки на какво е равно 1-Cos(Δх), ще направим замяна и ще получим опростен израз Δу, който след това ще разделим на Δх.
Δу/Δх ще изглежда така: Cos(х 0 ) Sin(Δх)/Δх-2 Sin2(0, 5 Δх) Sin(х0) /Δх. Това е съотношението на инкремента на функцията към разрешеното увеличение на аргумента.
Остава да намерим границата на полученото от нас отношение lim при Δх, стремящо се към нула.
Известно е, че границата Sin(Δх)/Δx е равна на 1 при това условие. И изразът 2 Sin2(0, 5 Δх)/Δх в полученото частно ще бъде сумиран чрез трансформации към произведението, съдържащо първата забележителна граница като множител: разделяме числителя и знаменател на дроба по 2, квадратът заместваме синуса с произведението. Като това:
(Sin(0, 5 Δx)/(0, 5 Δx)) Sin(Δx/2).
Ограничението на този израз, тъй като Δx клони към нула, ще бъде равно на нула (1 пъти 0). Оказва се, че границата на съотношението Δy/Δх е равна на Cos(х0) 1-0, това е Cos(х0), израз, който не зависи от Δx, стремящ се към 0. От това следва изводът: производната на синуса на произволен ъгъл x е равна на косинус x, ние го записваме така: y'=Cos(x).
Резултантната формула е посочена в добре познатата таблица на производните, където са събрани всички елементарни функции
При решаване на задачи, където се среща производната на синуса, можете да използвате правилата за диференциране и готови формули от таблицата. Например: намерете производната на най-простата функция y=3·Sin(x)-15. Нека използваме елементарните правила за диференциране, като извадим числовия фактор от знака на производната и изчислим производната на постоянно число (той е равен на нула). Прилагаме табличната стойност на производната на синуса на ъгъла x, равна на Cos (x). Получаваме отговора: y'=3·Cos(x)-O. Тази производна от своя страна също е елементарна функция y=3 Cos(x).
Производната на синуса на квадрат на всеки аргумент
Когато изчислявате този израз (Sin2(x))', трябва да запомните как се диференцира сложна функция. И така, y=Sin2(x) е степенна функция, тъй като синусът е на квадрат. Неговият аргумент също е тригонометрична функция, комплексен аргумент. Резултатът в този случай е равен на произведението, чийто първи фактор е производна на квадрата на дадения комплексен аргумент, а вторият е производна на синуса. Ето как изглежда правилото за разграничаване на функция от функция: (u(v(x)))' е равно (u(v(x)))'·(v(x))'. Изразът v(x) е сложен аргумент (вътрешна функция). Ако е дадена функцията "y е равно на синуса на квадрат x", тогава производната на тази комплексна функция ще бъде y'=2·Sin(x)·Cos(x). В продукта първият удвоен фактор е производна на известна степенна функция, а Cos(x) е производната на синуса, аргумента на комплексна квадратична функция. Крайният резултат може да се преобразува,използвайки тригонометричната формула за синуса на двоен ъгъл. Отговор: производната е Sin(2 x). Тази формула е лесна за запомняне и често се използва като таблична формула.
