Математическите задачи се използват в много науки. Те включват не само физика, химия, инженерство и икономика, но и медицина, екология и други дисциплини. Една важна концепция, която трябва да овладеете, за да намерите решения на важни дилеми, е производната на функция. Физическият смисъл на това изобщо не е толкова труден за обяснение, колкото може да изглежда на непосветените в същността на въпроса. Достатъчно е само да намерите подходящи примери за това в реалния живот и обикновени ежедневни ситуации. Всъщност всеки шофьор се справя с подобна задача всеки ден, когато гледа скоростомера, определяйки скоростта на колата си в определен момент от определено време. В крайна сметка именно в този параметър се крие същността на физическото значение на производната.
Как да намеря скорост
Определете скоростта на човек на пътя, като знае изминатото разстояние и времето за пътуване, всеки петокласник може лесно. За да направите това, първата от дадените стойности се разделя на втората. Ноне всеки млад математик знае, че в момента намира съотношението на приращенията на функция и аргумент. Наистина, ако си представим движението под формата на графика, начертаваща пътя по оста y и времето по абсцисата, то ще бъде точно така.
Въпреки това, скоростта на пешеходец или друг обект, който определяме на голям участък от пътя, като се има предвид, че движението е равномерно, може да се промени. Във физиката има много форми на движение. Може да се изпълнява не само с постоянно ускорение, но и забавяне и увеличаване по произволен начин. Трябва да се отбележи, че в този случай линията, описваща движението, вече няма да бъде права линия. Графично може да приеме най-сложните конфигурации. Но за всяка от точките на графиката винаги можем да начертаем допирателна, представена от линейна функция.
За изясняване на параметъра на промяна на преместването в зависимост от времето е необходимо да се съкратят измерените сегменти. Когато станат безкрайно малки, изчислената скорост ще бъде мигновена. Този опит ни помага да дефинираме производната. Неговото физическо значение също следва логически от подобни разсъждения.
По отношение на геометрията
Известно е, че колкото по-голяма е скоростта на тялото, толкова по-стръмна е графиката на зависимостта на преместването от времето, а оттам и ъгъла на наклон на допирателната към графиката в определена точка. Индикатор за такива промени може да бъде тангенсът на ъгъла между оста x и допирателната линия. Той просто определя стойността на производната и се изчислява чрез съотношението на дължинитепротивоположно на съседния крак в правоъгълен триъгълник, образуван от перпендикуляр, спуснат от някаква точка до оста x.
Това е геометричното значение на първата производна. Физическият се разкрива в това, че стойността на противоположния крак в нашия случай е изминатото разстояние, а на съседния е времето. Съотношението им е скорост. И отново стигаме до извода, че моментната скорост, определена, когато и двете пролуки клонят към безкрайно малки, е същността на концепцията за производната, указваща нейното физическо значение. Втората производна в този пример ще бъде ускорението на тялото, което от своя страна демонстрира скоростта на промяна в скоростта.
Примери за намиране на производни във физиката
Производната е индикатор за скоростта на промяна на всяка функция, дори когато не говорим за движение в буквалния смисъл на думата. За да демонстрираме това ясно, нека вземем няколко конкретни примера. Да предположим, че силата на тока, в зависимост от времето, се променя според следния закон: I=0, 4t2. Необходимо е да се намери стойността на скоростта, с която този параметър се променя в края на 8-та секунда от процеса. Имайте предвид, че самата желана стойност, както може да се прецени от уравнението, непрекъснато нараства.
За да го решите, трябва да намерите първата производна, чието физическо значение беше разгледано по-рано. Тук dI / dt=0,8t. След това го намираме при t \u003d 8, получаваме, че скоростта, с която се променя силата на тока, е 6,4 A / c. Тук се счита, четокът се измерва в ампери, а времето, съответно, в секунди.
Всичко се променя
Видимият заобикалящ свят, състоящ се от материя, непрекъснато претърпява промени, като е в движение на различни процеси, протичащи в него. За описването им могат да се използват различни параметри. Ако те са обединени от зависимост, тогава те се записват математически като функция, която ясно показва промените им. И където има движение (в каквато и форма да е изразено), съществува и производно, чието физическо значение разглеждаме в момента.
По този повод следният пример. Да предположим, че телесната температура се променя според закона T=0, 2 t 2. Трябва да намерите скоростта на неговото нагряване в края на 10-та секунда. Проблемът се решава по начин, подобен на описания в предишния случай. Тоест намираме производната и заместваме стойността за t=10 в нея, получаваме T=0, 4 t=4. Това означава, че крайният отговор е 4 градуса в секунда, тоест процесът на нагряване и промяната на температурата, измерена в градуси, се случва точно с такава скорост.
Решаване на практически проблеми
Разбира се, в реалния живот всичко е много по-сложно, отколкото в теоретичните проблеми. На практика стойността на количествата обикновено се определя по време на експеримента. В този случай се използват инструменти, които дават показания по време на измервания с определена грешка. Следователно при изчисленията трябва да се справите с приблизителните стойности на параметрите и да се прибегне до закръгляване на неудобни числа,както и други опростявания. Като вземем това предвид, отново ще преминем към проблемите за физическото значение на производната, като се има предвид, че те са само един вид математически модел на най-сложните процеси, протичащи в природата.
Изригване на вулкан
Нека си представим, че изригва вулкан. Колко опасен може да бъде той? За да се отговори на този въпрос, трябва да се вземат предвид много фактори. Ще се опитаме да настаним един от тях.
От устата на "огненото чудовище" камъните се хвърлят вертикално нагоре, като имат начална скорост от момента на излизане до външната страна от 120 m/s. Необходимо е да се изчисли колко могат да достигнат максималната височина.
За да намерим желаната стойност, ще съставим уравнение за зависимостта на височината H, измерена в метри, от други стойности. Те включват начална скорост и време. Стойността на ускорението се счита за известна и приблизително равна на 10 m/s2.
Частична производна
Сега нека разгледаме физическото значение на производната на функция от малко по-различен ъгъл, защото самото уравнение може да съдържа не една, а няколко променливи. Например, в предишния проблем, зависимостта на височината на камъните, изхвърлени от отвора на вулкана, се определяше не само от промяната във времевите характеристики, но и от стойността на началната скорост. Последното се считаше за постоянна, фиксирана стойност. Но при други задачи с напълно различни условия всичко може да е различно. Ако количествата, върху които комплексътфункция, няколко, изчисленията се правят по формулите по-долу.
Физическото значение на честотата производна трябва да се определи както в обичайния случай. Това е скоростта, с която функцията се променя в определен момент с увеличаване на параметъра на променливата. Изчислява се по такъв начин, че всички останали компоненти се приемат като константи, само един се счита за променлива. Тогава всичко се случва по обичайните правила.
Незаменим съветник по много въпроси
Разбирайки физическото значение на производната, не е трудно да се дадат примери за решаване на сложни и сложни задачи, в които отговорът може да се намери с такива познания. Ако имаме функция, която описва разхода на гориво в зависимост от скоростта на автомобила, можем да изчислим при какви параметри на последния разходът на бензин ще бъде най-малък.
В медицината можете да предвидите как човешкото тяло ще реагира на лекарство, предписано от лекар. Приемът на лекарството засяга различни физиологични параметри. Те включват промени в кръвното налягане, сърдечната честота, телесната температура и др. Всички те зависят от дозата на приетото лекарство. Тези изчисления помагат да се предвиди хода на лечението, както при благоприятни прояви, така и при нежелани инциденти, които могат да повлияят фатално на промените в тялото на пациента.
Несъмнено е важно да се разбере физическото значение на производната в техническитепроблеми, по-специално в електротехниката, електрониката, проектирането и строителството.
Спирачен път
Нека разгледаме следващия проблем. Движейки се с постоянна скорост, колата, приближавайки се до моста, трябваше да намали скоростта 10 секунди преди входа, тъй като водачът забелязал пътен знак, забраняващ движението със скорост над 36 км/ч. Шофьорът нарушил ли е правилата, ако спирачният път може да се опише с формулата S=26t - t2?
Изчислявайки първата производна, намираме формулата за скоростта, получаваме v=28 – 2t. След това заместете стойността t=10 в посочения израз.
Тъй като тази стойност е изразена в секунди, скоростта е 8 m/s, което означава 28,8 km/h. Това дава възможност да се разбере, че водачът е започнал да намалява навреме и не е нарушил правилата за движение, а оттам и ограничението, посочено на знака за скорост.
Това доказва важността на физическото значение на производната. Пример за решаване на този проблем показва широчината на използването на това понятие в различни сфери на живота. Включително и в ежедневни ситуации.
Дериват в икономиката
До 19-ти век икономистите работеха предимно със средни стойности, независимо дали става въпрос за производителност на труда или цена на продукцията. Но от някакъв момент нататък граничните стойности станаха по-необходими за правене на ефективни прогнози в тази област. Те включват пределна полезност, приходи или разходи. Разбирането на това даде тласък за създаването на напълно нов инструмент в икономическите изследвания,която съществува и се развива повече от сто години.
За да се правят такива изчисления, където преобладават понятия като минимум и максимум, просто е необходимо да се разбере геометричният и физически смисъл на производната. Сред създателите на теоретичната основа на тези дисциплини могат да се посочат такива изтъкнати английски и австрийски икономисти като САЩ Джевонс, К. Менгер и др. Разбира се, граничните стойности в икономическите изчисления не винаги са удобни за използване. И, например, тримесечните отчети не се вписват непременно в съществуващата схема, но все пак прилагането на такава теория в много случаи е полезно и ефективно.
