Учителите по математика запознават учениците си с понятието "комбинаторна задача" още в пети клас. Това е необходимо, за да могат в бъдеще да работят с по-сложни задачи. Комбинаторният характер на даден проблем може да се разбира като възможността за решаването му чрез изброяване на елементи от крайно множество.
Основният признак на задачите от този ред е въпросът към тях, който звучи като „Колко опции?“или "По колко начина?" Решаването на комбинаторните задачи директно зависи от това дали решаващият е разбрал значението, дали е успял правилно да представи действието или процеса, който е описан в задачата.
Как да решим комбинаторен проблем?
Важно е правилно да се определи вида на всички връзки в разглеждания проблем, но е необходимо да се провери дали има повторения на елементи в него, дали самите елементи се променят, дали техният ред играе голяма роля, а също и по отношение на някои другифактори.
Комбинаторният проблем може да има редица ограничения, които могат да бъдат поставени върху връзките. В този случай ще трябва да изчислите напълно неговото решение и да проверите дали тези ограничения имат някакъв ефект върху свързването на всички елементи. Ако наистина има влияние, е необходимо да се провери кое.
Откъде да започна?
Първо трябва да се научите как да решавате най-простите комбинаторни задачи. Овладяването на прост материал ще ви позволи да се научите да разбирате по-сложни задачи. Препоръчително е първо да започнете да решавате проблеми с ограничения, които не се вземат предвид, когато обмисляте по-опростен вариант.
Препоръчва се също да се опитате първо да решите онези проблеми, в които трябва да вземете предвид по-малък брой общи елементи. По този начин ще можете да разберете принципа на създаване на мостри и да научите как да ги създавате сами в бъдеще. Ако проблемът, за който трябва да използвате комбинаторика, се състои от комбинация от няколко по-прости, препоръчително е да го решите на части.
Решаване на комбинаторни задачи
Такива проблеми може да изглеждат лесни за решаване, но комбинаториката е доста трудна за овладяване, някои от тях не са били решавани през последните стотици години. Един от най-известните проблеми е да се определи броя на магическите квадрати от специален ред, когато числото n е по-голямо от 4.
Комбинаторният проблем е тясно свързан с теорията на вероятностите, появила се през средновековието. Вероятностпроизходът на събитие може да се изчисли само с помощта на комбинаторика, в този случай ще е необходимо да се редуват всички фактори на места, за да се получи оптималното решение.
Решаване на проблеми
Комбинаторните задачи с решение се използват за обучение на ученици и студенти как да работят с този материал. Най-общо казано, те трябва да събудят у човека интерес и желание за намиране на общо решение. В допълнение към математическите изчисления е необходимо да се прилага умствено напрежение и да се използват догадки.
В процеса на решаване на поставените задачи детето ще може да развие своето математическо въображение и комбинаторни способности, което може да му бъде сериозно полезно в бъдеще. Постепенно трябва да се повишава нивото на сложност на задачите, които трябва да се решават, за да не се забравят съществуващите знания и да се добавят нови към тях.
Метод 1. Бюст
Методите за решаване на комбинаторни задачи са много различни един от друг, но всички те могат да бъдат използвани от ученика, за да получи отговор. Един от най-простите, но в същото време и най-дългите начини е грубата сила. С него просто трябва да преминете през всички възможни решения, без да съставяте никакви схеми и таблици.
По правило въпросът в такъв проблем е свързан с възможни варианти на възникване на събитие, например: какви числа могат да бъдат направени с числата 2, 4, 8, 9? Чрез търсене във всички опции се съставя отговор, състоящ се от възможни комбинации. Този метод е чудесен, ако броят на възможните опциисравнително малък.
Метод 2. Дърво на опциите
Някои комбинаторни проблеми могат да бъдат решени само чрез създаване на диаграми с подробна информация за всеки елемент. Изготвянето на дърво от възможни опции е друг начин да намерите отговор. Подходяща е за решаване на проблеми, които не са твърде трудни, при които има допълнително условие.
Пример за такава задача:
Какви петцифрени числа могат да се направят от числата 0, 1, 7, 8? За да го решите, трябва да построите дърво от всички възможни комбинации и има допълнително условие - числото не може да започне от нула. Така отговорът ще се състои от всички числа, които ще започват с 1, 7 или 8
Метод 3. Формиране на таблици
Комбинаторните задачи могат да бъдат решени и с помощта на таблици. Те са подобни на дървото на възможните опции, тъй като предлагат визуално решение на ситуацията. За да намерите верния отговор, трябва да оформите таблица и тя ще бъде огледална: хоризонталните и вертикалните условия ще бъдат еднакви.
Възможните отговори ще бъдат получени на пресечната точка на колони и редове. В този случай няма да се получат отговори на пресечната точка на колона и ред със същите данни, тези пресечни точки трябва да бъдат специално маркирани, за да не се объркате при съставянето на крайния отговор. Този метод не се избира често от учениците, много предпочитат дърво с опции.
Метод 4. Умножение
Има и друг начин за решаване на комбинаторни задачи - правилото за умножение. Той е добрее подходящ в случай, когато според условието не е необходимо да се изброяват всички възможни решения, просто трябва да се намери максималният им брой. Този метод е единствен по рода си, използва се много често, когато тепърва започват да решават комбинаторни задачи.
Пример за такава задача може да изглежда така:
6 души чакат изпита в коридора. Колко начина можете да използвате, за да ги подредите в общия списък? За да получите отговор, трябва да изясните колко от тях могат да бъдат на първо място, колко на второ, на трето и т.н. Отговорът ще бъде числото 720
Комбинаторика и нейните видове
Комбинаторната задача не е само учебен материал, студентите също го изучават. В науката има няколко вида комбинаторика и всяка от тях има своя собствена мисия. Изброителната комбинаторика трябва да обмисли изброяване и изброяване на възможни конфигурации с допълнителни условия.
Структурната комбинаторика е компонент на университетската програма, изучава теорията на матроидите и графиките. Екстремната комбинаторика също е свързана с университетския материал и тук има индивидуални ограничения. Друг раздел е теорията на Рамзи, която се занимава с изучаване на структури в случайни вариации на елементи. Съществува и езикова комбинаторика, която се занимава с въпроса за съвместимостта на определени елементи един с друг.
Метод за преподаване на комбинаторни задачи
Според урокапланове, възрастта на учениците, която е предназначена за първично запознаване с този материал и за решаване на комбинаторни задачи, е 5 клас. Именно там за първи път тази тема се предлага за разглеждане на учениците, те се запознават с явлението комбинаторност и се опитват да решат поставените им задачи. В същото време е много важно при поставянето на комбинаторна задача да се използва метод, когато самите деца търсят отговори на въпроси.
Наред с други неща, след изучаване на тази тема, ще бъде много по-лесно да се въведе понятието факториал и да се използва при решаване на уравнения, задачи и т.н. Така комбинаторността играе важна роля в по-нататъшното обучение.
Комбинаторни проблеми: защо са необходими?
Ако знаете какво представляват комбинаторните проблеми, тогава няма да изпитвате никакви затруднения с тяхното решаване. Техниката за решаването им може да бъде полезна, когато трябва да създадете графици, работни графици, както и сложни математически изчисления, които не са подходящи за електронни устройства.
В училищата със задълбочено изучаване на математика и информатика се изучават допълнително комбинаторни задачи; за това се съставят специални курсове, учебни помагала и задачи. По правило няколко задачи от този тип могат да бъдат включени в Единния държавен изпит по математика, обикновено те са „скрити“в част C.
Как да решим бързо комбинаторен проблем?
Много е важно да можете да видите комбинаторния проблембързо, тъй като може да има забулена формулировка, това е особено важно при преминаване на изпита, където всяка минута е от значение. Запишете отделно информацията, която виждате в текста на проблема на лист хартия и след това се опитайте да я анализирате по отношение на четирите начина, които знаете.
Ако можете да поставите информация в таблица или друга формация, опитайте се да я разрешите. Ако не можете да го класифицирате, в този случай е най-добре да го оставите за известно време и да преминете към друга задача, за да не губите ценно време. Тази ситуация може да бъде избегната чрез предварително решаване на определен брой задачи от този тип.
Къде мога да намеря примери?
Единственото нещо, което ще ви помогне да научите как да решавате комбинаторни задачи, са примерите. Можете да ги намерите в специални математически колекции, които се продават в магазините за учебна литература. Там обаче можете да намерите информация само за студенти, учениците ще трябва да търсят задачи допълнително, като правило задачите за тях са измислени от други учители.
Преподавателите от висшето образование вярват, че студентите трябва да се обучават и постоянно им предлагат допълнителна образователна литература. Един от най-добрите сборници е "Методи на дискретния анализ при решаване на комбинаторни задачи", написан през 1977 г. и издаван многократно от водещите издателства в страната. Именно там можете да намерите задачи, които са били актуални по това време и остават актуални днес.
Ами ако трябва да направите комбинаторен проблем?
Най-често трябва да се съставят комбинаторни задачиучители, които са длъжни да научат учениците да мислят извън рамката. Тук всичко ще зависи от творческия потенциал на компилатора. Препоръчително е да обърнете внимание на съществуващите колекции и да опитате да съставите проблем, така че да комбинира няколко начина за решаването му наведнъж и да има различни данни от книгата.
Университетските учители в това отношение са много по-свободни от училищните учители, те често дават на учениците си задачата сами да измислят комбинаторни задачи с подробни методи за решаване и обяснения. Ако не сте нито едното, нито другото, можете да поискате помощ от тези, които наистина разбират въпроса, както и да наемете частен учител. Един академичен час е достатъчен, за да се направят няколко подобни задачи.
Комбинаторика - науката на бъдещето?
Много специалисти в областта на математиката и физиката смятат, че именно комбинаторният проблем може да стане тласък в развитието на всички технически науки. Достатъчно е да вземете нестандартен подход към решаването на определени проблеми и тогава ще бъде възможно да се отговори на въпроси, които преследват учените от няколко века. Някои от тях сериозно твърдят, че комбинаториката е помощ за всички съвременни науки, особено за космонавтиката. Ще бъде много по-лесно да изчислите пътеките на полета на корабите с помощта на комбинаторни задачи, а също така ще ви позволят да определите точното местоположение на определени небесни тела.
Внедряването на нестандартен подход отдавна е започнало в азиатските страни, където студентите дориумножение, изваждане, събиране и деление се решават с помощта на комбинаторни методи. За изненада на много европейски учени, техниката наистина работи. Училищата в Европа засега само започнаха да се учат от опита на своите колеги. Кога точно комбинаториката ще се превърне в един от основните клонове на математиката, е трудно да се отгатне. Сега науката се изучава от водещи учени в света, които се стремят да я популяризират.
