Всяко физическо количество, което се предлага в математическите уравнения при изучаването на конкретен природен феномен, има някакво значение. Моментът на инерция не е изключение от това правило. Физическото значение на това количество е разгледано подробно в тази статия.
Момент на инерция: математическа формулировка
На първо място трябва да се каже, че разглежданата физическа величина се използва за описание на ротационни системи, тоест такива движения на обект, които се характеризират с кръгови траектории около някаква ос или точка.
Нека дадем математическата формула за момента на инерция за материална точка:
I=mr2.
Тук m и r са съответно масата на частицата и радиуса на въртене (разстоянието до оста). Всяко твърдо тяло, колкото и сложно да е, може да се раздели мислено на материални точки. Тогава формулата за момента на инерция в общ вид ще изглежда така:
I=∫mr2dm.
Този израз винаги е верен и не само за триизмерни,но също и за двуизмерни (едномерни) тела, тоест за равнини и пръти.
От тези формули е трудно да се разбере значението на физическия момент на инерция, но може да се направи важен извод: той зависи от разпределението на масата в тялото, което се върти, както и от разстоянието до оста на въртене. Освен това зависимостта от r е по-рязка, отколкото от m (виж знака квадрат във формулите).
Кръгово движение
Разберете какво е физическото значение на момента на инерция, това е невъзможно, ако не вземете предвид кръговото движение на телата. Без да навлизаме в подробности, ето два математически израза, които описват въртенето:
I1ω1=I2ω 2;
M=I dω/dt.
Горното уравнение се нарича закон за запазване на количеството L (импульс). Това означава, че без значение какви промени се случват в системата (отначало имаше момент на инерция I1, а след това стана равен на I2), произведението I към ъгловата скорост ω, тоест ъгловия импулс, ще остане непроменен.
Долният израз показва промяната в скоростта на въртене на системата (dω/dt), когато към нея се приложи определен момент на сила M, който има външен характер, тоест генерира се от сили, които не са свързани с вътрешни процеси в разглежданата система.
И горното, и долното равенство съдържат I и колкото по-голяма е неговата стойност, толкова по-ниска е ъгловата скорост ω или ъгловото ускорение dω/dt. Това е физическият смисъл на момента.инерция на тялото: отразява способността на системата да поддържа своята ъглова скорост. Колкото повече аз, толкова по-силна се проявява тази способност.
Аналогия на линейния импулс
Сега нека преминем към същото заключение, което беше изразено в края на предишния параграф, като правим аналогия между въртеливото и транслационното движение във физиката. Както знаете, последното се описва със следната формула:
p=mv.
Този прост израз определя инерцията на системата. Нека сравним формата му с тази за ъгловия импулс (вижте горния израз в предишния параграф). Виждаме, че стойностите v и ω имат едно и също значение: първата характеризира скоростта на промяна на линейните координати на обекта, втората характеризира ъгловите координати. Тъй като и двете формули описват процеса на равномерно (равноъгълно) движение, стойностите m и I също трябва да имат същото значение.
Сега разгледайте втория закон на Нютон, който се изразява с формулата:
F=ma.
Обръщайки внимание на формата на долното равенство в предишния параграф, имаме ситуация, подобна на разглежданата. Моментът на силата M в нейното линейно представяне е силата F, а линейното ускорение a е напълно аналогично на ъгловото dω/dt. И отново стигаме до еквивалентността на масата и инерционния момент.
Какво е значението на масата в класическата механика? Това е мярка за инерция: колкото по-голям е m, толкова по-трудно е да се премести обектът от мястото му и още повече да му се даде ускорение. Същото може да се каже и за момента на инерция по отношение на движението на въртене.
Физически смисъл на инерционния момент на пример за домакинство
Нека зададем прост въпрос за това как е по-лесно да се завърти метален прът, например арматура - когато оста на въртене е насочена по дължината му или когато е напречно? Разбира се, в първия случай е по-лесно да завъртите пръта, тъй като неговият момент на инерция за такова положение на оста ще бъде много малък (за тънък прът той е равен на нула). Затова е достатъчно да задържите предмет между дланите и с леко движение да го завъртите.
Между другото, описаният факт е експериментално потвърден от нашите предци в древни времена, когато са се научили да правят огън. Те завъртяха пръчката с огромни ъглови ускорения, което доведе до създаването на големи сили на триене и в резултат на това до отделяне на значително количество топлина.
Маховик на кола е отличен пример за използване на голям момент на инерция
В заключение бих искал да дам може би най-важния пример за съвременната технология за използване на физическото значение на момента на инерция. Маховикът на автомобил е твърд стоманен диск с относително голям радиус и маса. Тези две стойности определят съществуването на значима стойност I, характеризираща го. Маховикът е проектиран да "омекоти" всякакви силови ефекти върху коляновия вал на автомобила. Импулсивният характер на действащите моменти на силите от цилиндрите на двигателя към коляновия вал е изгладен и гладък благодарение на тежкия маховик.
Между другото, колкото по-голям е ъгловият момент, толковаповече енергия е във въртяща се система (аналогия с масата). Инженерите искат да използват този факт, съхранявайки спирачната енергия на автомобила в маховика, за да го насочат впоследствие към ускоряване на превозното средство.
