Аритметичен квадратен корен и неговите свойства

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-17 05:17

Всички изучавахме аритметични квадратни корени в час по алгебра в училище. Случва се, че ако знанията не се освежават, то бързо се забравят, същото е и с корените. Тази статия ще бъде полезна за осмокласници, които искат да опреснят знанията си в тази област, и други ученици, защото работим с корени в 9, 10 и 11 клас.

История на корен и степен

Дори в древни времена, и по-специално в древен Египет, хората са имали нужда от степени, за да извършват операции с числа. Когато не е имало такова понятие, египтяните записват произведението на едно и също число двадесет пъти. Но скоро беше измислено решение на проблема - броят пъти, в които числото трябва да се умножи само по себе си, започна да се изписва в горния десен ъгъл над него и тази форма на запис е оцеляла и до днес..

И историята на квадратния корен започва преди около 500 години. Означава се по различни начини и едва през седемнадесети век Рене Декарт въвежда такъв знак, който използваме и до днес.

Какво е квадратен корен

Нека започнем, като обясним какво е корен квадратен. Квадратният корен на някакво число c е неотрицателно число, което, когато се постави на квадрат, ще бъде равно на c. В този случай c е по-голямо или равно на нула.

За да поставим число под корена, ние го квадратираме и поставяме знака корен върху него:

32=9, 3=√9

Също така, не можем да получим стойността на квадратния корен от отрицателно число, тъй като всяко число в квадрат е положително, тоест:

c² ≧ 0, ако √c е отрицателно число, тогава c^{2 < 0 - противно на правилото.}

За да изчислите бързо квадратни корени, трябва да знаете таблицата с квадратите на числата.

Свойства

Нека разгледаме алгебричните свойства на квадратния корен.

1) За да извлечете корен квадратен от продукта, трябва да вземете корена на всеки фактор. Тоест може да се запише като произведение на корените на факторите:

√ac=√a × √c, например:

√36=√4 × √9

2) При извличане на корен от дроб е необходимо да се извлече коренът отделно от числителя и знаменателя, тоест да се запише като частно от техните корени.

3) Стойността, получена чрез вземане на корен квадратен от число, винаги е равна на модула на това число, тъй като модулът може да бъде само положителен:

√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) За да издигнем корен до всяка степен, ние вдигаме до негорадикален израз:

(√с)⁴=√с^{4, например:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) Квадратът на аритметичния корен от c е равен на това самото число:

(√s)2=s.

Корени на ирационални числа

Да кажем, че коренът от шестнадесет е лесен, но как да вземем корена на числа като 7, 10, 11?

Число, чийто корен е безкрайна непериодична дроб, се нарича ирационално. Не можем да извлечем корена от него сами. Можем само да го сравним с други числа. Например вземете корена от 5 и го сравнете с √4 и √9. Ясно е, че √4 < √5 < √9, след това 2 < √5 < 3. Това означава, че стойността на корена от пет е някъде между две и три, но между тях има много десетични дроби и избирането на всеки е съмнителен начин за намиране на корена.

Можете да направите тази операция на калкулатор - това е най-лесният и бърз начин, но в 8-ми клас никога няма да ви се изисква да извличате ирационални числа от аритметичния квадратен корен. Трябва само да запомните приблизителните стойности на корена от две и корена на три:

√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.

Примери

Сега, въз основа на свойствата на квадратния корен, ще решим няколко примера:

1) √17² - 8²

Запомнете формулата за разликата на квадратите:

√(17-8) (17+8)=√9 ×25

Ние знаем свойството на квадратния аритметичен корен - за да извлечете корена от продукта, трябва да го извлечете от всеки фактор:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

Приложете друго свойство на корена - квадратът на аритметичния корен на число е равен на самото число:

2 × 3 + 6=12

Важно! Често, когато започват да работят и решават примери с аритметични квадратни корени, учениците правят следната грешка:

√12 + 3=√12 + √3 - не можете да направите това!

Не можем да вземем корена на всеки термин. Няма такова правило, но се бърка с вземането на корена на всеки фактор. Ако имахме този запис:

√12 × 3, тогава би било справедливо да напишете √12 × 3=√12 × √3.

И така можем да пишем само:

√12 + 3=√15