Някои математически задачи изискват възможността за изчисляване на квадратния корен. Тези проблеми включват решаване на уравнения от втори ред. В тази статия представяме ефективен метод за изчисляване на квадратни корени и го използваме при работа с формули за корените на квадратно уравнение.
Какво е квадратен корен?
В математиката това понятие съответства на символа √. Историческите данни казват, че започва да се използва за първи път около първата половина на 16 век в Германия (първата немска работа по алгебра от Кристоф Рудолф). Учените смятат, че този символ е трансформирана латинска буква r (радикс означава "корен" на латински).
Коренът на всяко число е равен на такава стойност, чийто квадрат съответства на коренния израз. На езика на математиката тази дефиниция ще изглежда така: √x=y ако y2=x.
Коренът на положително число (x > 0) също еположително число (y > 0), но ако коренът е взет от отрицателно число (x < 0), тогава неговият резултат вече ще бъде комплексно число, включително въображаемата единица i.
Ето два прости примера:
√9=3, защото 32 =9; √(-9)=3i, защото i2=-1.
Итеративната формула на Херон за намиране на квадратни корени
Горните примери са много прости и изчисляването на корените в тях не е трудно. Трудностите започват да се появяват вече при намирането на коренните стойности за всяка стойност, която не може да бъде представена като квадрат от естествено число, например √10, √11, √12, √13, да не говорим за факта, че на практика се е необходимо да се намерят корени за нецели числа: например √(12, 15), √(8, 5) и т.н.
Във всички горепосочени случаи трябва да се използва специален метод за изчисляване на квадратния корен. Понастоящем са известни няколко такива метода: например разширяване в серия на Тейлър, разделяне по колона и някои други. От всички известни методи, може би най-простият и най-ефективен е използването на итеративната формула на Херон, която е известна още като вавилонския метод за определяне на квадратни корени (има доказателства, че древните вавилонци са я използвали в своите практически изчисления).
Нека е необходимо да се определи стойността на √x. Формулата за намиране на корен квадратен е както следва:
an+1=1/2(a+x/a), където limn->∞(a)=> x.
Дешифрирайте тази математическа нотация. За да изчислите √x, трябва да вземете някакво число a0 (може да бъде произволно, но за бърз резултат трябва да го изберете така, че (a0) 2 беше възможно най-близо до x, след което го заменете с посочената формула за корен квадратен и получете ново число a1, което вече ще бъде по-близо до желаната стойност. Необходимо е да замените 1 в израза и да получите 2 Тази процедура трябва да се повтаря, докато се получи необходимата точност.
Пример за прилагане на итеративната формула на Херон
Описаният по-горе алгоритъм за получаване на квадратен корен от дадено число може да звучи доста сложно и объркващо за мнозина, но в действителност всичко се оказва много по-просто, тъй като тази формула се сближава много бързо (особено ако е щастливо число е избран a0).
Нека вземем прост пример: трябва да изчислим √11. Избираме 0=3, тъй като 32=9, което е по-близо до 11 от 42=16. Замествайки във формулата, получаваме:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Няма смисъл да продължаваме изчисленията, тъй като получихме, че a2 и a3 започват да се различават само в 5-ия знак след десетичната запетая място. По този начин беше достатъчно да приложите формулата само 2 пътиизчислете √11 с точност до 0,0001.
В момента калкулаторите и компютрите се използват широко за изчисляване на корени, но е полезно да запомните маркираната формула, за да можете ръчно да изчислите тяхната точна стойност.
Уравнения от втори ред
Разбиране какво е квадратен корен и способността за изчисляването му се използва при решаване на квадратни уравнения. Тези уравнения са равенства с едно неизвестно, чиято обща форма е показана на фигурата по-долу.
Тук c, b и a са някои числа и a не трябва да е равно на нула, а стойностите на c и b могат да бъдат напълно произволни, включително нула.
Всички стойности на x, които отговарят на равенството, посочено на фигурата, се наричат негови корени (това понятие не трябва да се бърка с квадратния корен √). Тъй като разглежданото уравнение има 2-ри ред (x2), тогава не може да има повече от две числа за неговите корени. Нека да разгледаме как да намерим тези корени по-късно в статията.
Намиране на корените на квадратно уравнение (формула)
Този метод за решаване на разглеждания тип равенства се нарича още универсален или методът чрез дискриминанта. Може да се приложи към всякакви квадратни уравнения. Формулата за дискриминанта и корените на квадратното уравнение е както следва:
Показва, че корените зависят от стойността на всеки от трите коефициента на уравнението. Освен това изчислениетоx1 се различава от изчислението x2 само със знака пред квадратния корен. Радикалният израз, който е равен на b2 - 4ac, не е нищо повече от дискриминантът на разглежданото равенство. Дискриминантът във формулата за корените на квадратното уравнение играе важна роля, тъй като определя броя и вида на решенията. Така че, ако е нула, тогава ще има само едно решение, ако е положително, тогава уравнението има два реални корена, накрая, отрицателният дискриминант води до два комплексни корена x1 и x 2.
Теоремата на Виета или някои свойства на корените на уравнения от втори ред
В края на 16-ти век, един от основателите на съвременната алгебра, французинът Франсоа Виет, изучавайки уравнения от втори ред, успява да получи свойствата на нейните корени. Математически те могат да бъдат написани така:
x1 + x2=-b / a и x1 x 2=c / a.
И двете равенства могат лесно да бъдат получени от всеки, за това е необходимо само да се извършат съответните математически операции с корените, получени чрез формулата с дискриминанта.
Комбинацията от тези два израза с право може да се нарече втора формула на корените на квадратно уравнение, което дава възможност да се отгатнат неговите решения без да се използва дискриминантът. Тук трябва да се отбележи, че въпреки че и двата израза са винаги валидни, е удобно да ги използвате за решаване на уравнение само ако то може да бъде разложено на множители.
Задачата за консолидиране на придобитите знания
Нека да решим математическа задача, в която ще демонстрираме всички техники, разгледани в статията. Условията на задачата са следните: трябва да намерите две числа, за които произведението е -13, а сборът е 4.
Това условие веднага напомня за теоремата на Виета, прилагайки формулите за сумата от квадратните корени и техния продукт, пишем:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Ако приемем, че a=1, тогава b=-4 и c=-13. Тези коефициенти ни позволяват да напишем уравнение от втори ред:
x2 - 4x - 13=0.
Използвайте формулата с дискриминанта, получаваме следните корени:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Тоест задачата беше сведена до намирането на числото √68. Обърнете внимание, че 68=417, след което използвайки свойството квадратен корен, получаваме: √68=2√17.
Сега нека използваме разглежданата формула за квадратен корен: a0=4, след това:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Няма нужда да изчислявате a3, защото намерените стойности се различават само с 0,02. По този начин √68=8,246. Замествайки го във формулата за x 1, 2, получаваме:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 и x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Както можете да видите, сборът от намерените числа наистина е 4, но ако намерите техния продукт, той ще бъде равен на -12,999, което удовлетворява условието на задачата с точност 0,001.
