Квадричните уравнения често се появяват в редица задачи по математика и физика, така че всеки ученик трябва да може да ги решава. Тази статия подробно описва основните методи за решаване на квадратни уравнения и също така предоставя примери за тяхното използване.
Какво уравнение се нарича квадратно
На първо място, ще отговорим на въпроса от този параграф, за да разберем по-добре за какво ще бъде статията. И така, квадратното уравнение има следния общ вид: c + bx+ax2=0, където a, b, c са някои числа, които се наричат коефициенти. Тук a≠0 е задължително условие, в противен случай посоченото уравнение се изражда в линейно. Останалите коефициенти (b, c) могат да приемат абсолютно всякакви стойности, включително нула. По този начин изрази като ax2=0, където b=0 и c=0, или c+ax2=0, където b=0, или bx+ax2=0, където c=0 също са квадратни уравнения, които се наричат непълни, тъй като или линейният коефициент b в тях е нула или нулае свободен термин c, или и двете изчезват.
Уравнение, в което a=1 се нарича редуцирано, тоест има формата: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Решението на квадратно уравнение е да се намерят такива x стойности, които удовлетворяват неговото равенство. Тези стойности се наричат корени. Тъй като разглежданото уравнение е израз от втора степен, това означава, че максималният брой на неговите корени не може да надвишава два.
Какви методи за решаване на квадратни уравнения съществуват
Общо взето, има 4 метода за решение. Имената им са изброени по-долу:
- Факторинг.
- Допълнение към квадрата.
- Използване на известна формула (чрез дискриминанта).
- Методът на решението е геометричен.
Както можете да видите от горния списък, първите три метода са алгебрични, така че се използват по-често от последния, който включва начертаване на функция.
Има друг начин за решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета. Тя може да бъде включена на 5-то място в списъка по-горе, но това не е направено, тъй като теоремата на Виета е просто следствие от третия метод.
По-нататък в статията ще разгледаме по-подробно посочените методи за решаване, както и ще дадем примери за тяхното използване за намиране на корените на конкретни уравнения.
Метод №1. Факторинг
За този метод в математиката на квадратните уравнения има красиваиме: факторизация. Същността на този метод е следната: необходимо е да се представи квадратното уравнение като продукт на два члена (изрази), които трябва да са равни на нула. След такова представяне можете да използвате свойството на продукта, което ще бъде равно на нула само когато един или повече (всички) му членове са нула.
Сега разгледайте последователността от конкретни действия, които трябва да се извършат, за да намерите корените на уравнението:
- Преместете всички членове в една част на израза (например вляво), така че само 0 да остане в другата му част (вдясно).
- Представете сбора от членовете в една част от уравнението като продукт на две линейни уравнения.
- Задайте всеки от линейните изрази на нула и ги решете.
Както можете да видите, алгоритъмът за факторизация е доста прост, но повечето студенти имат затруднения по време на изпълнението на 2-ра точка, така че ще го обясним по-подробно.
За да познаете кои 2 линейни израза, когато се умножат един по друг, ще дадат желаното квадратно уравнение, трябва да запомните две прости правила:
- Линейните коефициенти на два линейни израза, когато се умножат един по друг, трябва да дадат първия коефициент на квадратното уравнение, тоест числото a.
- Свободните термини на линейните изрази, когато се умножат, трябва да дадат числото c на желаното уравнение.
След като всички фактори са избрани, те трябва да бъдат умножени и ако дадат желаното уравнение, преминете към стъпка 3 вгорния алгоритъм, в противен случай трябва да промените множителите, но трябва да направите това, така че горните правила винаги да се спазват.
Пример за решение чрез метод на факторизация
Нека покажем ясно как алгоритъмът за решаване на квадратно уравнение е да се съставят и намират неизвестни корени. Нека бъде даден произволен израз, например, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Нека да преминем към неговото решение, като спазваме последователността от точки от 1 до 3, които са изложени в предишния параграф на статията.
Елемент 1. Преместете всички членове в лявата страна и ги подредете в класическата последователност за квадратно уравнение. Имаме следното равенство: 2x+(-8)+x2=0.
Елемент 2. Разбиваме го на произведение на линейни уравнения. Тъй като a=1 и c=-8, тогава ще изберем, например, такъв продукт (x-2)(x+4). Той отговаря на правилата за намиране на очакваните фактори, посочени в параграфа по-горе. Ако отворим скобите, получаваме: -8+2x+x2, тоест получаваме точно същия израз като в лявата страна на уравнението. Това означава, че сме познали правилно множителите и можем да продължим към 3-та стъпка от алгоритъма.
Елемент 3. Приравнете всеки фактор към нула, получаваме: x=-4 и x=2.
Ако има някакви съмнения относно резултата, препоръчително е да проверите, като замените намерените корени в оригиналното уравнение. В този случай имаме: 22+22-8=0 и 2(-4)+(-4)2 -8=0. Корените са намерени правилно.
По този начин, използвайки метода на факторизация, открихме, че даденото уравнение има два корена от различниима: 2 и -4.
Метод №2. Допълнение към пълния квадрат
В алгебрата на квадратните уравнения методът на множителя не винаги може да се използва, тъй като в случай на дробни стойности на коефициентите на квадратното уравнение възникват трудности при изпълнението на параграф 2 от алгоритъма.
Пълният квадратен метод от своя страна е универсален и може да се приложи към квадратни уравнения от всякакъв тип. Същността му е да извърши следните операции:
- Членовете на уравнението, съдържащо коефициентите a и b трябва да бъдат прехвърлени в едната част на уравнението, а свободният член c в другата.
- След това частите на равенството (дясно и ляво) трябва да се разделят на коефициента a, тоест да се представи уравнението в редуциран вид (a=1).
- Сумирайте членовете с коефициенти a и b, за да ги представите като квадрат на линейно уравнение. Тъй като a \u003d 1, тогава линейният коефициент ще бъде равен на 1, що се отнася до свободния член на линейното уравнение, тогава той трябва да бъде равен на половината от линейния коефициент на намаленото квадратно уравнение. След като квадратът на линейния израз е съставен, е необходимо да се добави съответното число към дясната страна на равенството, където се намира свободният член, който се получава чрез разширяване на квадрата.
- Вземете квадратния корен със знаци "+" и "-" и решете вече полученото линейно уравнение.
Описаният алгоритъм на пръв поглед може да се възприеме като доста сложен, но на практика е по-лесен за изпълнение от метода на факторизация.
Пример за решение, използващо пълно квадратно допълнение
Нека дадем пример за квадратно уравнение за обучение на неговото решение по метода, описан в предишния параграф. Нека е дадено квадратното уравнение -10 - 6x+5x2=0. Започваме да го решаваме, следвайки алгоритъма, описан по-горе.
Елемент 1. Използваме метода на прехвърляне при решаване на квадратни уравнения, получаваме: - 6x+5x2=10.
Точка 2. Намалената форма на това уравнение се получава чрез разделяне на числото 5 на всеки от неговите членове (ако и двете части се разделят или умножат по едно и също число, тогава равенството ще бъде запазено). В резултат на трансформациите получаваме: x2 - 6/5x=2.
Елемент 3. Половината от коефициента - 6/5 е -6/10=-3/5, използвайте това число, за да завършите квадрата, получаваме: (-3/5+x) 2 . Разширяваме го и полученият свободен член трябва да се извади от лявата страна на равенството, за да се удовлетвори първоначалната форма на квадратното уравнение, което е еквивалентно на добавянето му към дясната страна. В резултат получаваме: (-3/5+x)2=59/25.
Позиция 4. Изчислете квадратния корен с положителни и отрицателни знаци и намерете корените: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Двата намерени корена имат следните стойности: x1=(√59+3)/5 и x1=(3-√59)/5.
Тъй като извършените изчисления са свързани с корени, има голяма вероятност да се направи грешка. Затова се препоръчва да проверите правилността на корените x2 и x1. Получаваме за x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Заменете сегаx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
По този начин ние показахме, че намерените корени на уравнението са верни.
Метод №3. Прилагане на добре познатата формула
Този метод за решаване на квадратни уравнения е може би най-простият, тъй като се състои в заместване на коефициентите в известна формула. За да го използвате, не е нужно да мислите за компилиране на алгоритми за решение, достатъчно е да запомните само една формула. Показан е на снимката по-горе.
В тази формула радикалният израз (b2-4ac) се нарича дискриминант (D). От стойността му зависи какви корени се получават. Има 3 случая:
- D>0, тогава коренното две уравнение има реални и различни.
- D=0, тогава се получава коренът, който може да бъде изчислен от израза x=-b/(a2).
- D<0, тогава получавате два различни въображаеми корена, които са представени като комплексни числа. Например числото 3-5i е комплексно, докато въображаемата единица i удовлетворява свойството: i2=-1.
Пример за решение чрез изчисляване на дискриминанта
Нека дадем пример за квадратно уравнение, което да практикуваме, използвайки горната формула. Намерете корените за -3x2-6+3x+4x=0. Първо, изчислете стойността на дискриминанта, получаваме: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Тъй като се получава D<0, това означава, че корените на разглежданото уравнение са комплексни числа. Нека ги намерим, като заместим намерената стойност D във формулата, дадена в предишния параграф (тя също е показана на снимката по-горе). Получаваме: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Метод №4. Използване на функционалната графика
Нарича се още графичен метод за решаване на квадратни уравнения. Трябва да се каже, че като правило се използва не за количествен, а за качествен анализ на разглежданото уравнение.
Същността на метода е да се начертае квадратична функция y=f(x), която е парабола. След това е необходимо да се определи в кои точки параболата пресича оста x (X), те ще бъдат корените на съответното уравнение.
За да разберете дали параболата ще пресича оста X, достатъчно е да знаете позицията на нейния минимум (максимум) и посоката на нейните разклонения (те могат да се увеличават или намаляват). Има две свойства на тази крива, които трябва да запомните:
- Ако a>0 - параболите на клона са насочени нагоре, напротив, ако a<0, тогава те отиват надолу.
- Минималната (максималната) координата на парабола винаги е x=-b/(2a).
Например, трябва да определите дали уравнението -4x+5x2+10=0 има корени. Съответната парабола ще бъде насочена нагоре, тъй като=5>0. Неговият екстремум има координати: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Тъй като минимумът на кривата лежи над оста x (y=9, 2), тогава тя не пресича последната за нито единx стойности. Тоест, даденото уравнение няма реални корени.
теоремата на Виета
Както беше отбелязано по-горе, тази теорема е следствие от метод № 3, който се основава на прилагането на формула с дискриминант. Същността на теоремата на Vieta е, че тя ви позволява да свържете коефициентите на уравнението и неговите корени в равенство. Нека получим съответните равенства.
Нека използваме формулата за изчисляване на корените чрез дискриминанта. Добавете два корена, получаваме: x1+x2=-b/a. Сега нека умножим корените един по друг: x1x2, след серия от опростявания получаваме числото c/a.
По този начин, за да решите квадратните уравнения по теоремата на Виета, можете да използвате получените две равенства. Ако всичките три коефициента на едно уравнение са известни, тогава корените могат да бъдат намерени чрез решаване на съответната система от тези две уравнения.
Пример за използване на теоремата на Виета
Трябва да напишете квадратно уравнение, ако знаете, че то има формата x2+c=-bx и корените му са 3 и -4.
Тъй като a=1 в разглежданото уравнение, формулите Vieta ще изглеждат така: x2+x1=-b и x2x1=п. Замествайки известните стойности на корените, получаваме: b=1 и c=-12. В резултат на това възстановеното квадратно намалено уравнение ще изглежда така: x2-12=-1x. Можете да замените стойността на корените в него и да се уверите, че равенството е валидно.
Обратно прилагане на теоремата на Виета, тоест изчисляването на корените поизвестна форма на уравнението, позволява малки цели числа a, b и c за бързо (интуитивно) намиране на решения.
