Светът е подреден по такъв начин, че решението на голям брой проблеми се свежда до намиране на корените на квадратно уравнение. Корените на уравненията са важни за описването на различни модели. Това е било известно дори на геодезистите на древен Вавилон. Астрономите и инженерите също бяха принудени да решават подобни проблеми. Още през 6-ти век след Христа индийският учен Арябхата разработи основите за намиране на корените на квадратно уравнение. Формулите са завършени през 19-ти век.
Общи понятия
Каним ви да се запознаете с основните закономерности на квадратните равенства. Най-общо равенството може да се запише по следния начин:
ax2 + bx + c=0, Броят на корените на квадратно уравнение може да бъде равен на един или два. Може да се направи бърз анализ с помощта на концепцията за дискриминант:
D=b2 - 4ac
В зависимост от изчислената стойност получаваме:
- Когато D > 0 има два различни корена. Общата формула за определяне на корените на квадратно уравнение изглежда така (-b± √D) / (2a).
- D=0, в този случай коренът е един и съответства на стойността x=-b / (2a)
- D < 0, за отрицателна стойност на дискриминанта, няма решение на уравнението.
Забележка: ако дискриминантът е отрицателен, уравнението няма корени само в областта на реалните числа. Ако алгебрата се разшири до концепцията за комплексни корени, тогава уравнението има решение.
Нека дадем верига от действия, която потвърждава формулата за намиране на корени.
От общата форма на уравнението следва:
ax2 + bx=-c
Умножаваме дясната и лявата част по 4a и добавяме b2, получаваме
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Преобразувайте лявата страна в квадрата на полинома (2ax + b)2. Извличаме квадратния корен от двете страни на уравнението 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), прехвърляме коефициента b в дясната страна, получаваме:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Оттук следва:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Какво се изискваше да се покаже.
Специален случай
В някои случаи решението на проблема може да бъде опростено. И така, за четен коефициент b получаваме по-проста формула.
Означаваме k=1/2b, тогава формулата на общата форма на корените на квадратното уравнение приема формата:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Когато D=0, получаваме x=-k / a
Друг специален случай е решението на уравнението с a=1.
За формата x2 + bx + c=0 корените ще бъдат x=-k ± √(k2 - c) с дискриминант, по-голям от 0. За случая, когато D=0, коренът ще бъде определен по проста формула: x=-k.
Използвайте диаграми
Всеки човек, без дори да знае, постоянно се сблъсква с физически, химични, биологични и дори социални явления, които са добре описани от квадратична функция.
Забележка: кривата, изградена на базата на квадратична функция, се нарича парабола.
Ето няколко примера.
- При изчисляване на траекторията на снаряда се използва свойството на движение по парабола на тяло, изстреляно под ъгъл спрямо хоризонта.
- Свойството на параболата да разпределя равномерно натоварването е широко използвано в архитектурата.
Разбирайки важността на параболичната функция, нека разберем как да използваме графиката, за да изследваме нейните свойства, като използваме понятията "дискриминант" и "корен на квадратно уравнение".
В зависимост от стойността на коефициентите a и b, има само шест опции за позицията на кривата:
- Дискриминантът е положителен, a и b имат различни знаци. Клоновете на параболата гледат нагоре, квадратното уравнение има две решения.
- Дискриминантът и коефициентът b са равни на нула, коефициентът a е по-голям от нула. Графиката е в положителната зона, уравнението има 1 корен.
- Дискриминантът и всички коефициенти са положителни. Квадратното уравнение няма решение.
- Дискриминантът и коефициентът a са отрицателни, b е по-голямо от нула. Клоновете на графиката са насочени надолу, уравнението има два корена.
- Дискриминантно икоефициент b е равен на нула, коефициент a е отрицателен. Параболата гледа надолу, уравнението има един корен.
- Стойностите на дискриминанта и всички коефициенти са отрицателни. Няма решения, стойностите на функцията са изцяло в отрицателната зона.
Забележка: опцията a=0 не се разглежда, тъй като в този случай параболата се изражда в права линия.
Всичко по-горе е добре илюстрирано от фигурата по-долу.
Примери за решаване на проблеми
Условие: като използвате общите свойства, направете квадратно уравнение, чиито корени са равни един на друг.
Решение:
според условието на задачата x1 =x2, или -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Опростяване на нотацията:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, отворете скобите и дайте подобни термини. Уравнението става 2√(b2 - 4ac)=0. Това твърдение е вярно, когато b2 - 4ac=0, следователно b 2=4ac, тогава стойността b=2√(ac) се замества в уравнението
ax2 + 2√(ac)x + c=0, в намалената форма получаваме x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Отговор:
за a, което не е равно на 0 и всяко c, има само едно решение, ако b=2√(c / a).
Квадричните уравнения, въпреки цялата им простота, са от голямо значение в инженерните изчисления. Почти всеки физически процес може да бъде описан с известно приближение с помощта намощностни функции от ред n. Квадратното уравнение ще бъде първото подобно приближение.
