Изучаването на полинома от втора степен се отделя много внимание в курса по алгебра за осми клас. Ако този материал е слабо усвоен от ученика, тогава проблемите са неизбежни на изпитите на OGE и Единния държавен изпит, както на ниво профил, така и на базата. Задължителните умения, свързани с квадратичните функции, включват начертаване и анализиране на графики, решаване на уравнения.
Разлагането на множители на квадратен трином е един от стандартните училищни проблеми. Той е спомагателен при решаването на неравенството чрез интервалния метод.
Намиране на корените на уравнение
Първото нещо за разлагане на полином е да се намерят неговите корени.
Корените са числа, които превръщат сбора от мономи в полинома до нула, което графично изглежда като пресичане с хоризонталната ос. Те се определят с помощта на дискриминанта или теоремата на Виета.
Дискриминантът на тричленната бра2 + bx + c се изчислява по формулата: D=b2m- 4ac.
В случай, когато дискриминантът не е отрицателен,корените се изразяват чрез него и полиномните коефициенти:
x1 =1/2(-b + √D); x2 =1/2(-b - √D)
Ако дискриминантът е нула, x1и x2 са еднакви.
За решаване на някои тричлени е удобно да използвате теоремата на Виета:
x1 + x2 =-b: a; x1 × x2=c: a
Необходима е известна доза математическа интуиция, за да се приложи теоремата. Изводът е, че като знаете сумата и произведението на две неизвестни, вземете тези числа. Ако съществуват, те се намират уникално (до пермутация).
Можете да проверите валидността на теоремата, като изчислите сумата и произведението на корените в общи условия. Формулите за x1 и x2 също се проверяват чрез директно заместване.
Правило за факторинг
Задачата може да бъде решена в реални числа, ако полиномът има корени. Разлагането се определя по формулата:
ax2 + bx + c=a(x - x1)(x - x2)
Примери
Проблем: намерете разлагането на квадратни тричлени.
a) x2 - 6x + 5
Решение: напишете коефициентите на тричлена:
а=1; b=-6; c=5.
Използване на теоремата на Виета:
x1 + x2 =6;
x1 × x2=5.
Вижда се, че x1 =1, x2 =5.
Ако според писмените равенства на теоремата,възможно е бързо да намерите корените, трябва незабавно да преминете към изчисляването на дискриминанта.
След като се намерят корените, трябва да ги замените във формулата за разширение:
x2 - 6x + 5=(x - 1)(x - 5)
Резултатът, записан в този формуляр, може да се счита за окончателен.
b) 2x2 + x - 1
Решение:
a=2, b=1, c=-1.
Ако водещият коефициент е различен от 1, прилагането на теоремата на Виета обикновено отнема повече време, отколкото решаването чрез дискриминанта, така че нека преминем към изчисляването му.
D=1 - 4 × 2 × (-1)=9.
x1=1/2; x2=-1.
Формулата е:
2x2 + x - 1=2(x - 1/2)(x + 1).
c)x2 - 8x + 16
Решение:
а=1; b=-8; c=16.
D=0.
Тъй като дискриминантът е нула, имаме случай на съвпадение на корените:
x1 =x2 =4.
Тази ситуация обаче не се различава фундаментално от разгледаните по-рано.
x2 - 8x + 16=1(x - 4)(x - 4)
Резултатът често се записва като: (x - 4)2.
d)x2 - 7x + 1
Решение:
а=1; b=-7; c=1.
D=45.
Този пример се различава от предишните по това, че рационален корен не може да бъде извлечен от дискриминанта. Това означава, че корените на полинома са ирационални.
x1 =-1/2(7 + √45); x2 =-1/2(7 - √45).
Или еквивалентно, x1=-3, 5 - 1/2√45; x2 =-3, 5 + 1/2√45.
Последната опция е по-удобна за използване за разширяване на писането. Пропускайки старшия коефициент, който тук е равен на 1, получаваме:
x2- 7x + 1=(x + 3,5 + 1/2√45)(x + 3,5 - 1/2√45)
За случая, когато дискриминантът е отрицателен, в рамките на училищната програма е достатъчен следният отговор: тричленът няма корени и следователно не може да бъде разложен на множители. Такива тричлени се наричат още неприводими. Важно е да се разбере, че говорим само за наличието или отсъствието на истински корени.
Ако се вземе предвид полето на комплексните числа, разлагането на квадратен трином е възможно с всеки дискриминант.
Типични грешки
1) В самото начало на изучаване на полином много хора изписват коефициентите неправилно, например обръщат внимание на реда на мономиите в нотацията.
Значи водещият фактор a в уравнение 101 е 79x + 38x2 е 38, а не 101, както може би си мислите.
Друга грешка, свързана с коефициентите на уравнението, е така наречената "загуба на знак". В същия пример коефициент b=-79, а не 79.
2) Свиквайки да използваме теоремата на Виета за случая, когато a=1, учениците понякога забравят за пълната й формулировка. В полинома от първия параграф е неправилно да се приеме, че сумата от корените е 79, тъй като първият коефициент е различен от 1.
3) Изчислителните грешки са най-често срещаният проблем за учениците. В много случаи проверката помага да се избегнат.заместване.
Полиноми от трета степен и по-висока
Полиноми от по-висока степен рядко се разглеждат в училище, тъй като проблемът с намирането на корени за полиноми от трета и по-висока степен е трудоемък. Съществуват алгоритми с висока изчислителна сложност за разширяване на полином от трета и четвърта степен. За пета степен и по-горе е доказана теорема за неразрешимостта на уравнението в радикали в общ вид.
Специални случаи на тези полиноми, които могат да се разглеждат в гимназията, се характеризират с наличието на рационални лесно избираеми корени. Броят на последните не може да надвишава степента на полинома. При работа със сложната равнина техният брой е точно същият като най-високата степен.
Полиномите от нечетна степен винаги имат поне един реален корен. Това е лесно да се покаже графично - непрекъсната функция, дадена от такъв полином, има както положителни, така и отрицателни стойности, което означава, че преминава през 0.
Всички корени на два полинома съвпадат, ако и само ако техните коефициенти са пропорционални.
Общо взето, проблемът с намирането на корени и проблемът с конструирането на декомпозиция могат да се считат за еквивалентни.
