Теорема на Щайнер или теорема за успоредни оси за изчисляване на инерционния момент

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-17 05:17

В математическото описание на въртеливото движение е важно да се знае моментът на инерция на системата спрямо оста. В общия случай процедурата за намиране на това количество включва изпълнението на процеса на интегриране. Така наречената теорема на Щайнер улеснява изчисляването. Нека го разгледаме по-подробно в статията.

Какво е инерционният момент?

Преди да се даде формулировката на теоремата на Щайнер, е необходимо да се справим със самото понятие за момента на инерция. Да предположим, че има някакво тяло с определена маса и произволна форма. Това тяло може да бъде или материална точка, или всеки двуизмерен или триизмерен обект (прът, цилиндър, топка и т.н.). Ако въпросният обект извършва кръгово движение около някаква ос с постоянно ъглово ускорение α, тогава може да се запише следното уравнение:

M=Iα

Тук стойността M представлява общия момент на силите, който дава ускорение α на цялата система. Коефициентът на пропорционалност между тях - I, се наричамомент на инерция. Това физическо количество се изчислява по следната обща формула:

I=∫_m (r²dm)

Тук r е разстоянието между елемента с маса dm и оста на въртене. Този израз означава, че е необходимо да се намери сумата от произведенията на квадратите на разстоянията r² и елементарната маса dm. Тоест моментът на инерция не е чиста характеристика на тялото, което го отличава от линейната инерция. Зависи от разпределението на масата в обекта, който се върти, както и от разстоянието до оста и от ориентацията на тялото спрямо нея. Например пръчката ще има различно I, ако се върти около центъра на масата и около края.

Момент на инерция и теоремата на Щайнер

Известният швейцарски математик Якоб Щайнер доказа теоремата за успоредните оси и момента на инерция, която сега носи неговото име. Тази теорема постулира, че моментът на инерция за абсолютно всяко твърдо тяло с произволна геометрия спрямо някаква ос на въртене е равен на сумата от инерционния момент около оста, която пресича центъра на масата на тялото и е успоредна на първата, и произведението на телесната маса, умножено по квадрата на разстоянието между тези оси. Математически тази формулировка се записва по следния начин:

I_Z=I_O + ml²

I_Z и I_O - моменти на инерция около оста Z и успоредната на нея ос O, която минава през центъра на масата на тялото, l - разстояние между линиите Z и O.

Теоремата позволява, знаейки стойността на I_O, да се изчисливсеки друг момент I_Z около ос, която е успоредна на O.

Доказателство на теоремата

Формулата на теоремата на Щайнер може лесно да бъде получена от вас. За да направите това, разгледайте произволно тяло в равнината xy. Нека началото на координатите преминава през центъра на масата на това тяло. Нека изчислим момента на инерция I_O, който минава през началото, перпендикулярно на равнината xy. Тъй като разстоянието до която и да е точка от тялото се изразява с формулата r=√ (x² + y²), тогава получаваме интеграла:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Сега нека преместим оста успоредно по оста x на разстояние l, например, в положителна посока, тогава изчислението за новата ос на момента на инерция ще изглежда така:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Разгънете пълния квадрат в скоби и разделете интегрантите, получаваме:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Първият от тези термини е стойността I_O, третият член, след интегрирането, дава термина l²m, и тук вторият член е нула. Нулирането на посочения интеграл се дължи на факта, че той се взема от произведението на x и масовите елементи dm, което всредната стойност дава нула, тъй като центърът на масата е в началото. В резултат на това се получава формулата на теоремата на Щайнер.

Разглежданият случай на равнината може да се обобщи до триизмерно тяло.

Проверка на формулата на Щайнер на примера на пръчка

Нека дадем прост пример, за да демонстрираме как да използваме горната теорема.

Известно е, че за прът с дължина L и маса m, моментът на инерция I_O (оста минава през центъра на масата) е равен на m L² /12, а моментът I_Z (остата минава през края на пръта) е равен на mL 2^{/3. Нека проверим тези данни с помощта на теоремата на Щайнер. Тъй като разстоянието между двете оси е L/2, получаваме момента I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Тоест проверихме формулата на Щайнер и получихме същата стойност за I_Z като в източника.

Подобни изчисления могат да се извършват за други тела (цилиндър, топка, диск), като се получават необходимите моменти на инерция и без да се извършва интегриране.

Момент на инерция и перпендикулярни оси

Разглежданата теорема се отнася за успоредни оси. За пълнота на информацията е полезно да се даде и теорема за перпендикулярни оси. Формулира се по следния начин: за плосък обект с произволна форма, моментът на инерция около перпендикулярна на него ос ще бъде равен на сумата от два инерционни момента около два взаимно перпендикулярни и лежащив равнината на обекта оси, като и трите оси минават през една и съща точка. Математически това се записва по следния начин:

I_z=I_x + I_y

Тук z, x, y са три взаимно перпендикулярни оси на въртене.

Съществената разлика между тази теорема и теоремата на Щайнер е, че тя е приложима само за плоски (двуизмерни) твърди обекти. Въпреки това на практика се използва широко, като мислено разрязва тялото на отделни слоеве и след това добавя получените моменти на инерция.