Количественото изследване на динамиката и кинематиката на въртеливото движение изисква познаване на момента на инерция на материална точка и твърдо тяло спрямо оста на въртене. В статията ще разгледаме за какъв параметър говорим, а също така ще дадем формула за определянето му.
Обща информация за физическото количество
Първо, нека дефинираме момента на инерция на материална точка и твърдо тяло и след това да покажем как трябва да се използва при решаването на практически задачи.
Под посочената физическа характеристика за точка с маса m, която се върти около оста на разстояние r, се има предвид следната стойност:
I=mr².
Откъдето следва, че мерната единица на изследвания параметър е килограми на квадратен метър (kgm²).
Ако вместо точка около ос се върти тяло със сложна форма, което има произволно разпределение на масата вътре в себе си, тогава инерционният му момент се определятака че:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Където ρ е плътността на тялото. Използвайки интегралната формула, можете да определите стойността на I за абсолютно всяка система на въртене.
Моментът на инерция има точно същото значение за въртене, както масата има за транслационно движение. Например, всеки знае, че е най-лесно да завъртите мопа за под около ос, минаваща през дръжката му, отколкото през перпендикулярна. Това се дължи на факта, че инерционният момент в първия случай е много по-малък, отколкото във втория.
I стойност за тела с различни форми
При решаване на задачи по физика за въртене често е необходимо да се знае моментът на инерция за тяло с определена геометрична форма, например за цилиндър, топка или прът. Ако приложим формулата, написана по-горе за I, тогава е лесно да получим съответния израз за всички маркирани тела. По-долу са формулите за някои от тях:
прът: I=1 / 12ML²;
цилиндър: I=1 / 2MR²;
сфера: I=2 / 5MR².
Тук I са дадени за оста на въртене, която минава през центъра на масата на тялото. В случай на цилиндър оста е успоредна на генератора на фигурата. Инерционният момент за други геометрични тела и опции за разположение на осите на въртене могат да бъдат намерени в съответните таблици. Имайте предвид, че за да определите I различни фигури, достатъчно е да знаете само един геометричен параметър и масата на тялото.
Теорема и формула на Щайнер
Моментът на инерция може да бъде определен, ако оста на въртене е разположена на известно разстояние от тялото. За да направите това, трябва да знаете дължината на този сегмент и стойността IO на тялото спрямо оста, минаваща през центъра на неговата маса, която трябва да е успоредна на тази под съображение. Установяването на връзка между параметъра IO и неизвестната стойност I е фиксирано в теоремата на Щайнер. Моментът на инерция на материална точка и твърдо тяло се записва математически, както следва:
I=IO+ Mh2.
Тук M е масата на тялото, h е разстоянието от центъра на масата до оста на въртене, спрямо която е необходимо да се изчисли I. Този израз е лесно да получите сами, ако използвайте интегралната формула за I и вземете предвид, че всички точки на тялото са на разстояния r=r0 + h.
Теоремата на Щайнер значително опростява дефиницията на I за много практически ситуации. Например, ако трябва да намерите I за прът с дължина L и маса M по отношение на ос, която минава през неговия край, тогава прилагането на теоремата на Щайнер ви позволява да напишете:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Можете да се обърнете към съответната таблица и да видите, че тя съдържа точно тази формула за тънък прът с ос на въртене в края.
Моментно уравнение
Във физиката на въртенето има формула, наречена уравнение на моментите. Изглежда така:
M=Iα.
Тук M е моментът на силата, α е ъгловото ускорение. Както можете да видите, моментът на инерция на материална точка и твърдо тяло и моментът на сила са линейно свързани един с друг. Стойността M определя възможността някаква сила F да създаде въртеливо движение с ускорение α в системата. За да изчислите M, използвайте следния прост израз:
M=Fd.
Където d е рамото на момента, което е равно на разстоянието от вектора на силата F до оста на въртене. Колкото по-малко е рамото d, толкова по-малко ще има силата да създаде въртене на системата.
Уравнението на моментите в своето значение е напълно в съответствие с втория закон на Нютон. В този случай аз играя ролята на инерционната маса.
Пример за решаване на проблеми
Нека си представим система, която представлява цилиндър, фиксиран върху вертикална ос с безтегловен хоризонтален прът. Известно е, че оста на въртене и главната ос на цилиндъра са успоредни една на друга, а разстоянието между тях е 30 см. Масата на цилиндъра е 1 кг, а радиусът му е 5 см. Сила 10 N допирателна към траекторията на въртене действа върху фигурата, чийто вектор минава през главната ос на цилиндъра. Необходимо е да се определи ъгловото ускорение на фигурата, което тази сила ще предизвика.
Първо, нека изчислим момента на инерция на I цилиндъра. За да направите това, приложете теоремата на Щайнер, имаме:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Преди да използвате уравнението на момента, трябваопределете момента на силата M. В този случай имаме:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Сега можете да определите ускорението:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Изчисленото ъглово ускорение показва, че всяка секунда скоростта на цилиндъра ще се увеличава с 5,2 оборота в секунда.
