В природата и технологиите често се сблъскваме с проявлението на въртеливото движение на твърди тела, като валове и зъбни колела. Как този тип движение се описва във физиката, какви формули и уравнения се използват за това, тези и други въпроси са разгледани в тази статия.
Какво е ротация?
Всеки от нас интуитивно си представя за какъв вид движение става дума. Въртенето е процес, при който тяло или материална точка се движат по кръгов път около някаква ос. От геометрична гледна точка оста на въртене на твърдо тяло е права линия, разстоянието до която остава непроменено по време на движението. Това разстояние се нарича радиус на въртене. По-нататък ще го обозначаваме с буквата r. Ако оста на въртене минава през центъра на масата на тялото, тогава тя се нарича своя собствена ос. Пример за въртене около собствената си ос е съответното движение на планетите от Слънчевата система.
За да се случи въртене, трябва да има центростремително ускорение, което се получава порадицентробежна сила. Тази сила е насочена от центъра на масата на тялото към оста на въртене. Природата на центростремителната сила може да бъде много различна. Така че в космически мащаб гравитацията играе своята роля, ако тялото е фиксирано с нишка, тогава силата на напрежение на последната ще бъде центростремителна. Когато едно тяло се върти около собствената си ос, ролята на центростремителната сила се играе от вътрешното електрохимично взаимодействие между елементите (молекули, атоми), които изграждат тялото.
Трябва да се разбере, че без наличието на центростремителна сила, тялото ще се движи по права линия.
Физически количества, описващи въртене
Първо, това са динамични характеристики. Те включват:
- момент L;
- момент на инерция I;
- момент на сила M.
На второ място, това са кинематичните характеристики. Нека ги изброим:
- ъгъл на завъртане θ;
- ъглова скорост ω;
- ъглово ускорение α.
Нека опишем накратко всяко от тези количества.
Ъгловият импулс се определя по формулата:
L=pr=mvr
Където p е линейният импулс, m е масата на материалната точка, v е нейната линейна скорост.
Моментът на инерция на материална точка се изчислява с помощта на израза:
I=mr2
За всяко тяло със сложна форма, стойността на I се изчислява като интегрална сума от моментите на инерция на материалните точки.
Моментът на силата M се изчислява, както следва:
M=Fd
Тук F -външна сила, d - разстояние от точката на нейното приложение до оста на въртене.
Физическият смисъл на всички величини, в името на които присъства думата "момент", е подобен на значението на съответните линейни величини. Например моментът на силата показва способността на приложената сила да придаде ъглово ускорение на система от въртящи се тела.
Кинематичните характеристики са математически дефинирани със следните формули:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
Както можете да видите от тези изрази, ъгловите характеристики са подобни по значение на линейните (скорост v и ускорение a), само че те са приложими за кръгова траектория.
Динамика на въртене
Във физиката изследването на въртеливото движение на твърдо тяло се извършва с помощта на два клона на механиката: динамика и кинематика. Да започнем с динамиката.
Динамиката изучава външни сили, действащи върху система от въртящи се тела. Нека веднага запишем уравнението на въртеливото движение на твърдо тяло и след това ще анализираме съставните му части. Така че това уравнение изглежда така:
M=Iα
Моментът на силата, който действа върху система с момент на инерция I, предизвиква появата на ъглово ускорение α. Колкото по-малка е стойността на I, толкова по-лесно е с помощта на определен момент M да завърти системата до високи скорости в кратки интервали от време. Например метален прът е по-лесно да се върти по оста си, отколкото перпендикулярно на него. Въпреки това е по-лесно да завъртите същия прът около перпендикулярна на него ос и минаваща през центъра на масата, отколкото през неговия край.
Закон за опазванестойности L
Тази стойност беше въведена по-горе, нарича се ъглов момент. Уравнението на въртеливото движение на твърдо тяло, представено в предишния параграф, често се записва в различна форма:
Mdt=dL
Ако моментът на външните сили M действа върху системата за времето dt, тогава той предизвиква промяна в ъгловия импулс на системата с dL. Съответно, ако моментът на силите е равен на нула, тогава L=const. Това е законът за запазване на стойността L. За него, използвайки връзката между линейна и ъглова скорост, можем да запишем:
L=mvr=mωr2=Iω.
По този начин, при липса на момента на силите, произведението на ъгловата скорост и момента на инерция е постоянна стойност. Този физически закон се използва от фигуристите в техните изпълнения или изкуствени спътници, които трябва да се въртят около собствената си ос в космическото пространство.
центростремително ускорение
По-горе, при изследването на въртеливото движение на твърдо тяло, тази величина вече беше описана. Беше отбелязано и естеството на центростремителните сили. Тук само ще допълним тази информация и ще дадем съответните формули за изчисляване на това ускорение. Обозначете го сc.
Тъй като центростремителната сила е насочена перпендикулярно на оста и минава през нея, тя не създава момент. Тоест тази сила няма абсолютно никакъв ефект върху кинематичните характеристики на въртене. Това обаче създава центростремително ускорение. Даваме две формули занеговите определения:
ac=v2/r;
ac=ω2r.
По този начин, колкото по-голяма е ъгловата скорост и радиус, толкова по-голяма трябва да се приложи силата, за да се задържи тялото по кръгов път. Ярък пример за този физически процес е плъзгането на автомобил по време на завой. Подхлъзване възниква, когато центростремителната сила, която се играе от силата на триене, стане по-малка от центробежната сила (инерционна характеристика).
Кинематика на въртене
Три основни кинематични характеристики бяха изброени по-горе в статията. Кинематиката на въртеливото движение на твърдо тяло се описва със следните формули:
θ=ωt=>ω=const., α=0;
θ=ω0t + αt2/2=> ω=ω0 + αt, α=const.
Първият ред съдържа формули за равномерно въртене, което предполага липсата на външен момент на силите, действащи върху системата. Вторият ред съдържа формули за равномерно ускорено движение в кръг.
Забележете, че въртенето може да се случи не само с положително ускорение, но и с отрицателно. В този случай във формулите на втория ред поставете знак минус преди втория член.
Пример за решаване на проблеми
Момент на сила от 1000 Nm действа върху металния вал за 10 секунди. Знаейки, че инерционният момент на вала е 50kgm2, е необходимо да се определи ъгловата скорост, която споменатият момент на сила е дал на вала.
Прилагайки основното уравнение на въртене, ние изчисляваме ускорението на вала:
M=Iα=>
α=M/I.
Тъй като това ъглово ускорение е действало върху вала за времето t=10 секунди, ние използваме формулата за равномерно ускорено движение, за да изчислим ъгловата скорост:
ω=ω0+ αt=M/It.
Тук ω0=0 (валът не се върти до момента на силата M).
Заместете числовите стойности на количествата в равенство, получаваме:
ω=1000/5010=200 rad/s.
За да преведете това число в обичайните обороти в секунда, трябва да го разделите на 2pi. След завършване на това действие получаваме, че валът ще се върти с честота от 31,8 rpm.
