Един от най-интересните проблеми на геометрията, резултатът от който е важен във физиката, химията и други области, е определянето на обемите. Правейки математика в училище, децата често си задават мисълта: „Защо имаме нужда от това?“Светът наоколо изглежда толкова прост и ясен, че определени училищни знания се класифицират като „ненужни“. Но е необходимо да се сблъскате, например, с транспорта и възниква въпросът как да се изчисли обемът на товара. Казвате, че няма нищо по-лесно? Ти грешиш. Познаването на изчислителните формули, понятията "плътност на материята", "обемна плътност на телата" стават необходими.
Училищните знания са практическа основа
Училищните учители, преподаващи основите на геометрията, ни предлагат такова определение за обем: частта от пространството, заета от тялото. В същото време формулите за определяне на обемите отдавна са записани и можете да ги намерите в справочниците. Човечеството се научи да определя обема на тялото с правилна форма много преди появата на трактатите на Архимед. Но само този велик гръцки мислител въведе техника, която позволява да се определи обемът на всяка фигура. Неговите заключения станаха основа на интегралното смятане. Обемните фигури се считат за получени в процеса на въртене на плоски геометрични фигури.
Евклидовгеометрията с определена точност ви позволява да определите обема:
| Геометрично тяло | Формула за изчисление | Основни параметри |
|
Правоъгълна кутия |
V=lbh | l – дължина, b – ширина, h – височина |
| Cube | V=a3 | а – ръб на куб |
| Цилиндър | V=Sh | S – основна площ, h – височина |
| Сфера | V=4πR3/3 | R- радиус на сферата |
Разликата между плоски и триизмерни фигури не позволява да се отговори на въпроса на някои страдащи как да се изчисли обемът на правоъгълник. Това е почти същото като да намериш нещо, не знам какво. Възможно е объркване в геометричния материал, докато правоъгълникът понякога се нарича кубоид.
Какво да направите, ако формата на тялото не е толкова добре дефинирана?
Определянето на обема на сложни геометрични структури не е лесна работа. Струва си да се ръководите от няколко непоклатими принципа.
- Всяко тяло може да бъде разбито на по-прости части. Обемът е равен на сбора от обемите на отделните му части.
- Еквивалентните тела имат равни обеми, паралелното прехвърляне на тела не променя обема им.
- Единицата за обем е обемът на куб с ръб с единична дължина.
Наличието на тела с неправилна форма (спомнете си прословутата корона на крал чапла) не се превръща в проблем. Определянето на обемите на телата чрез хидростатично претегляне е напълно възможно. Това е процесът на директно измерване на обема на течност с тяло, потопено в нея, което ще бъде обсъдено по-долу.
Различни приложения за определяне на обема
Нека се върнем към проблема: как да изчислим обема на транспортираните стоки. Какъв е товарът: пакетиран или насипен? Какви са параметрите на контейнера? Има повече въпроси, отколкото отговори. Въпросът за масата на товара ще стане важен, тъй като транспортът се различава по товароподемност, а маршрутите - по максималното тегло на превозното средство. Нарушаването на правилата за транспорт заплашва с наказания.
Проблем 1. Нека товарът бъде правоъгълни контейнери, пълни със стоки. Познавайки теглото на стоката и контейнера, можете лесно да определите общото тегло. Обемът на контейнера се определя като обем на правоъгълен паралелепипед.
Познавайки товароносимостта на транспорта, неговите размери, можете да изчислите възможния обем на транспортирания товар. Правилното съотношение на тези параметри ви позволява да избегнете катастрофа, преждевременна повреда на транспорта.
Задача 2. Товар - насипен материал: пясък, натрошен камък и други подобни. На този етап само страхотен специалист може да мине без познания по физика, чийто опит в превоза на товари ви позволява интуитивно да определите максималния обем, разрешен за транспортиране.
Научният метод изисква познаване на такъв параметър като плътност (насипна плътност)товар.
Използва се формулата V=m/ρ, където m е масата на товара, ρ е плътността на материала. Преди да изчислите обема, си струва да знаете плътността на товара, което също не е никак трудно (таблици, лабораторна дефиниция).
Тази техника работи чудесно и за обеми на течни товари. В този случай като мерна единица се използва литър.
Определяне на обема на строителните форми
Въпросът за определяне на обемите играе важна роля в строителството. Строителството на къщи и други конструкции е скъп бизнес, строителните материали изискват внимателно внимание и изключително точно изчисление.
Основата на сградата - основата - обикновено е лята конструкция, изпълнена с бетон. Преди да се изчисли обемът на бетона, е необходимо да се определи вида на основата.
Плоча фундамент - плоча под формата на правоъгълен паралелепипед. Колонна основа - правоъгълни или цилиндрични стълбове от определено сечение. Като определите обема на една колона и го умножите по количеството, можете да изчислите кубичния капацитет на бетона за цялата основа.
Когато изчисляват обема на бетона за стени или тавани, те го правят съвсем просто: определят обема на цялата стена, като умножават дължината по ширината и височината, след което отделно определят обемите на отворите за прозорци и врати. Разликата между обема на стената и общия обем на отворите е обемът на бетона.
Как да определим обема на сграда?
Някои приложни задачи изискват познания за обема на сградите и конструкциите. Те включват проблеми на ремонт, реконструкция, определяне на влажносттавъздух, проблеми, свързани с топлоснабдяването и вентилацията.
Преди да се отговори на въпроса как да се изчисли обемът на сграда, се правят измервания от външната й страна: площта на напречното сечение (дължина, умножена по ширината), височината на сградата от дъното на първи етаж към тавана.
Определянето на вътрешните обеми на отопляеми помещения се извършва чрез вътрешни удари.
Проектиране на отоплителни системи
Модерните апартаменти и офиси не могат да си представят без отоплителна система. Основната част от системите са батерии и свързващи тръби. Как да изчислим обема на отоплителната система? Общият обем на всички отоплителни секции, който е посочен на самия радиатор, трябва да се добави към обема на тръбите.
И на този етап възниква проблемът: как да изчислим обема на тръбата. Представете си, че тръбата е цилиндър, решението идва от само себе си: използваме формулата за изчисляване на обема на цилиндъра. В отоплителните системи тръбите се пълнят с вода, така че е необходимо да се знае площта на вътрешната секция на тръбата. За да направите това, ние определяме вътрешния му радиус (R). Формулата за определяне на площта на кръг: S=πR2. Общата дължина на тръбите се определя от дължината им в стаята.
Канализация в къщата - тръбна система
При полагане на тръби за дренаж си струва да знаете и обема на тръбата. На този етап е необходим външен диаметър, стъпките са подобни на предишните.
Определянето на обема метал, който влиза в производството на тръбата, също е интересна задача. Геометрично, тръбата е цилиндър с кухини. Определете площта на пръстена, лежаща в неговия участък -Задачата е доста трудна, но разрешима. По-прост изход е да определите външния и вътрешния обем на тръбата, разликата между тези стойности и ще бъде обемът на метала.
Определяне на обеми във физическите задачи
Прочутата легенда за короната на крал Херон стана известна не само в резултат на решението на проблема с извеждането на крадливите бижутери "на чиста вода". Резултатът от сложната мисловна дейност на Архимед е определянето на обемите на тела с неправилна геометрична форма. Основната идея, извлечена от философа, е, че обемът на течността, изместен от тялото, е равен на обема на тялото.
При лабораторни изследвания се използва мерителен цилиндър (чаша). Определете обема на течността (V1), потопете тялото в него, извършете вторични измервания (V2). Обемът е равен на разликата между вторичните и първичните измервания: Vt=V2 – V1.
Този метод за определяне на обема на телата се използва за изчисляване на обемната плътност на насипните неразтворими материали. Той е изключително полезен при определяне на плътността на сплавите.
Можете да изчислите обема на щифт, като използвате този метод. Изглежда достатъчно трудно да се определи обемът на такова малко тяло като щифт или топче. Не може да се измери с линийка, измервателният цилиндър също е достатъчно голям.
Но ако използвате няколко напълно идентични щифта (n), тогава можете да използвате градуиран цилиндър, за да определите общия им обем (Vt=V2 – V1). След това разделете получената стойност на броя на щифтовете. V=Vtn.
Тази задача ставаразбираемо, ако от едно голямо парче олово трябва да се хвърлят много пелети.
Единици за обем на течността
Международната система от единици приема измерването на обеми в m3. В ежедневието по-често се използват извънсистемни единици: литър, милилитър. Когато определяте как да изчислите обема в литри, използвайте системата за преобразуване: 1 m3=1000 литра.
Използването на други несистемни мерки в ежедневието може да причини затруднения. Британците използват по-познати бъчви, галони, бушели.
Система за превод:
| английски мерки | руски мерки | ||
| Buschel | 36, 4 l | Кофа | 12 l |
| галон | 4, 5 l | Бъчва | 490 l |
| Бъчва (суха) | 115, 628L | Дамаск | 1, 23 l |
| Бъчва (петрол) | 158, 988L | Чаша | 0, 123 l |
| Английска насипна варел | 163, 65 L | Скала | 0,06 l |
Проблеми с нестандартни данни
Задача 1. Как да изчислим обема, като знаем височината и площта? Този проблем обикновено се решава чрез дефиниранеколичеството покритие на различни части чрез поцинковане. Площта на повърхността на частта (S) е известна. Дебелина на слоя (h) - височина. Обемът се определя от произведението на площта и височината: V=Sh.
Проблем 2. За кубчетата проблемът за определяне на обема може да изглежда интересен от математическа гледна точка, ако е известна площта на едно лице. Известно е, че обемът на куб е: V=a3, където a е дължината на лицето му. Площта на страничната повърхност на куба S=a2. Като вземем корен квадратен от площта, получаваме дължината на лицето на куба. Използваме формулата за обем, изчисляваме нейната стойност.
Задача 3. Изчислете обема на фигура, ако площта е известна и са дадени някои параметри. Допълнителните параметри включват условия за съотношението на страните, височините, диаметрите на основата и много други.
За да решите конкретни проблеми, ще ви трябва не само познания за формулите за изчисляване на обеми, но и други геометрични формули.
Определяне на размерите на паметта
Напълно несвързана задача с геометрията: да се определи количеството памет на електронните устройства. В съвременния, доста компютъризиран свят, този проблем не е излишен. Прецизните устройства, като персонални компютри, не понасят приближаване.
Познаването на количеството памет на флаш устройство или друго устройство е полезно при копиране, преместване на информация.
Важно е да знаете количеството RAM и постоянната памет на вашия компютър. Често потребителят се сблъсква със ситуация, при която „играта не работи“, „програмата виси“. Проблемът е напълно възможен, когато обемът на паметта е малък.
Единицата за информация е байт и неговатапроизводни (килобайт, мегабайт, терабайт).
1 kB=1024 B
1 MB=1024 KB
1 GB=1024 MB
Странностите в тази система за преизчисление следват от двоичната система за кодиране на информация.
Размерът на паметта на устройство за съхранение е основната му характеристика. Сравнявайки количеството прехвърлена информация и обема на паметта на устройството, можете да определите възможността за по-нататъшната му работа.
Понятието "обем" е толкова широко, че е възможно да се разбере напълно неговата гъвкавост само чрез решаване на приложни проблеми, интересни и вълнуващи.
