Често в живота сме изправени пред необходимостта да оценим шансовете за настъпване на събитие. Дали си струва да си купите лотариен билет или не, какъв ще бъде полът на третото дете в семейството, дали времето ще е ясно утре или пак ще вали – такива примери са безброй. В най-простия случай трябва да разделите броя на благоприятните резултати на общия брой събития. Ако в лотарията има 10 печеливши билета и има общо 50, тогава шансовете за получаване на награда са 10/50=0,2, тоест 20 срещу 100. Но какво ще стане, ако има няколко събития и те са близо свързани? В този случай вече няма да се интересуваме от проста, а от условна вероятност. Каква е тази стойност и как може да се изчисли - това ще бъде обсъдено в нашата статия.
Концепция
Условна вероятност е шансът да се случи определено събитие, като се има предвид, че друго свързано събитие вече се е случило. Помислете за прост пример схвърляне на монета. Ако все още не е имало равенство, тогава шансовете за получаване на глави или опашки ще бъдат същите. Но ако пет пъти подред монетата лежи с герба нагоре, тогава се съгласете да очаквате 6-то, 7-о и още повече 10-то повторение на такъв резултат би било нелогично. С всяко повтарящо се заглавие шансовете да се появят опашки нарастват и рано или късно ще паднат.
Формула за условна вероятност
Нека сега да разберем как се изчислява тази стойност. Нека означим първото събитие като B, а второто като A. Ако шансовете за възникване на B са различни от нула, тогава ще бъде валидно следното равенство:
P (A|B)=P (AB) / P (B), където:
- P (A|B) – условна вероятност за резултат A;
- P (AB) - вероятността за съвместно настъпване на събития A и B;
- P (B) – вероятност за събитие B.
Леко трансформирайки това съотношение, получаваме P (AB)=P (A|B)P (B). И ако приложим метода на индукция, тогава можем да извлечем формулата на продукта и да я използваме за произволен брой събития:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Упражнение
За да улесним разбирането как се изчислява условната вероятност за събитие, нека разгледаме няколко примера. Да предположим, че има ваза, съдържаща 8 шоколада и 7 мента. Те са с еднакъв размер и произволни.две от тях се изваждат последователно. Какви са шансовете и двамата да са шоколадови? Нека въведем нотация. Нека резултатът A означава, че първият бонбон е шоколад, резултатът B е вторият шоколадов бонбон. След това получавате следното:
P (A)=P (B)=8 / 15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Нека разгледаме още един случай. Да предположим, че има семейство от две деца и знаем, че поне едно дете е момиче.
Каква е условната вероятност тези родители все още да нямат момчета? Както в предишния случай, започваме с нотация. Нека P(B) е вероятността, че има поне едно момиче в семейството, P(A|B) е вероятността второто дете също да е момиче, P(AB) е шансовете да има две момичета в семейството. Сега нека направим изчисленията. Общо може да има 4 различни комбинации от пола на децата, като в този случай само в един случай (когато в семейството има две момчета) няма да има момиче сред децата. Следователно, вероятността P (B)=3/4, а P (AB)=1/4. След това, следвайки нашата формула, получаваме:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Резултатът може да се тълкува по следния начин: ако не знаехме пола на едно от децата, тогава шансовете за две момичета биха били 25 срещу 100. Но тъй като знаем, че едно дете е момиче, вероятността семейството на момчетата да не се увеличава до една трета.
