Математиката по същество е абстрактна наука, ако се отдалечим от елементарните понятия. Така че върху няколко ябълки можете визуално да изобразите основните операции, които са в основата на математиката, но веднага щом равнината на дейност се разшири, тези обекти стават недостатъчни. Някой пробвал ли е да изобрази операции върху безкрайни множества върху ябълки? Това е работата, не. Колкото по-сложни ставаха понятията, с които математиката оперира в своите преценки, толкова по-проблематичен изглеждаше визуалният им израз, който щеше да улесни разбирането. Въпреки това, за щастие както на съвременните студенти, така и на науката като цяло, бяха получени кръгове на Ойлер, примери и възможности за които ще разгледаме по-долу.
Малко история
На 17 април 1707 г. светът даде на науката Леонхард Ойлер, забележителен учен, чийто принос към математиката, физиката, корабостроенето и дори теорията на музиката не може да бъде надценен.
Произведенията му са признати и търсени в целия свят и до днес, въпреки факта, че науката не стои на едно място. Особен интерес представлява фактът, че г-н Ойлер участва пряко във формирането на руската висша математическа школа, особено след като по волята на съдбата той се завръща в нашата държава два пъти. Ученият имал уникална способност да изгражда алгоритми, които са прозрачни в своята логика, отрязвайки всичко излишно и преминавайки от общото към особеното за възможно най-кратко време. Няма да изброяваме всички негови достойнства, тъй като това ще отнеме значително време и ще се обърнем директно към темата на статията. Именно той предложи да се използва графично представяне на операциите върху множества. Ойлеровите кръгове са в състояние да визуализират решението на всеки, дори и на най-сложния проблем.
Какъв е смисълът?
На практика кръговете на Ойлер, чиято схема е показана по-долу, могат да се използват не само в математиката, тъй като понятието "множество" е присъщо не само на тази дисциплина. Така че те се прилагат успешно в управлението.
Диаграмата по-горе показва отношенията на множества A (ирационални числа), B (рационални числа) и C (естествени числа). Кръговете показват, че множество C е включено в множество B, докато множество A не се пресича с тях по никакъв начин. Примерът е най-простият, но ясно обяснява спецификата на "връзките на множествата", които са твърде абстрактни за реално сравнение, макар и само поради тяхната безкрайност.
Алгебра на логиката
Тази областматематическата логика оперира с твърдения, които могат да бъдат както верни, така и неверни. Например от елементарното: числото 625 се дели на 25, числото 625 се дели на 5, числото 625 е просто. Първото и второто твърдение са верни, докато последното е невярно. Разбира се, на практика всичко е по-сложно, но същността е показана ясно. И, разбира се, кръговете на Ойлер отново са включени в решението, примерите с тяхното използване са твърде удобни и визуални, за да бъдат игнорирани.
Малко теория:
- Нека множества A и B съществуват и не са празни, тогава за тях са дефинирани следните операции на пресичане, обединение и отрицание.
- Пресечната точка на множества A и B се състои от елементи, които принадлежат едновременно на набор A и набор B.
- Обединението на множества A и B се състои от елементи, които принадлежат на множество A или набор B.
- Отрицанието на множество A е множество, което се състои от елементи, които не принадлежат на множество A.
Всичко това е изобразено отново от кръговете на Ойлер в логиката, тъй като с тяхна помощ всяка задача, независимо от степента на сложност, става очевидна и визуална.
Аксиоми на алгебрата на логиката
Да приемем, че 1 и 0 съществуват и са дефинирани в набор A, тогава:
- отрицанието на отрицанието на множество A е множество A;
- обединението на множество A с not_A е 1;
- обединението на множество A с 1 е 1;
- обединението на множество A със себе си е множество A;
- обединение на множество Aс 0 има множество A;
- пресечната точка на множество A с not_A е 0;
- пресечната точка на множество A със себе си е множество A;
- пресечната точка на множество A с 0 е 0;
- пресечната точка на множество A с 1 е набор A.
Основни свойства на алгебрата на логиката
Нека множествата A и B съществуват и не са празни, тогава:
- за пресичане и обединение на множества A и B се прилага комутативният закон;
- законът за комбиниране се прилага за пресичане и обединение на множества A и B;
- разпределителното право се прилага за пресичането и обединението на множества A и B;
- отрицанието на пресечната точка на множества A и B е пресечната точка на отрицанията на множества A и B;
- отрицанието на обединението на множества A и B е обединение на отрицанията на множества A и B.
По-долу са показани кръгове на Ойлер, примери за пресичане и обединение на множества A, B и C.
Перспективи
Произведенията на Леонхард Ойлер с основание се считат за основа на съвременната математика, но сега те се използват успешно в области на човешката дейност, които са се появили сравнително наскоро, вземете например корпоративното управление: кръговете, примерите и графиките на Ойлер описват механизмите на модели за разработка, било то руска или англо-американска версия.
