Леонхард Ойлер (1707-1783) - известен швейцарски и руски математик, член на Санкт Петербургската академия на науките, живял по-голямата част от живота си в Русия. Най-известният в математическия анализ, статистиката, компютърните науки и логиката е кръгът на Ойлер (диаграма на Ойлер-Вен), използван за обозначаване на обхвата на понятия и набори от елементи.
Джон Вен (1834-1923) - английски философ и логик, съавтор на диаграмата на Ойлер-Вен.
Съвместими и несъвместими концепции
Под понятието в логиката се разбира форма на мислене, която отразява съществените характеристики на клас хомогенни обекти. Те се обозначават с една или група от думи: „карта на света“, „доминиращ квинто-седми акорд“, „понеделник“и т.н.
В случай, че елементите от обхвата на едно понятие напълно или частично принадлежат към обхвата на друго, се говори за съвместими понятия. Ако обаче нито един елемент от обхвата на определено понятие не принадлежи към обхвата на друго, имаме несъвместими понятия.
От своя страна, всеки тип концепция има свой собствен набор от възможни връзки. За съвместими концепции това са:
- идентичност (еквивалентност) на томовете;
- преминаване (частично съвпадение)томове;
- подчинение (подчинение).
За несъвместими:
- подчинение (координация);
- противоположност (противоположност);
- противоречие (противоречие).
Схематично отношенията между понятията в логиката обикновено се обозначават с помощта на кръгове на Ойлер-Вен.
Еквивалентни отношения
В този случай понятията означават един и същ предмет. Съответно обемите на тези понятия са напълно еднакви. Например:
A - Зигмунд Фройд;
B е основателят на психоанализата.
Или:
A е квадрат;
B е равностранен правоъгълник;
C е равноъгълен ромб.
За обозначаване се използват напълно съвпадащи кръгове на Ойлер.
Пресечка (частично съвпадение)
Тази категория включва понятия, които имат общи елементи, които са във връзка с кръстосването. Тоест обемът на едно от понятията е частично включен в обема на другото:
A - учител;
B е любител на музиката.
Както се вижда от този пример, обемите на понятията частично съвпадат: определена група учители може да се окажат любители на музиката и обратното - сред любителите на музиката може да има представители на учителската професия. Подобно отношение ще бъде и в случая, когато понятие А е например „гражданин“, а Б е „шофьор“.
Подчинение (подчинение)
Схематично означени като кръгове на Ойлер с различни мащаби. Отношениямежду понятията в този случай се характеризират с факта, че подчиненото понятие (по-малко по обем) е напълно включено в подчиненото (по-голямо по обем). В същото време подчиненото понятие не изчерпва напълно подчиненото.
Например:
A - дърво;
B - бор.
Концепция B ще бъде подчинена на концепция A. Тъй като борът принадлежи на дърветата, концепция A в този пример става подчинена, "поглъщайки" обхвата на концепция B.
Координация (координация)
Връзката характеризира две или повече понятия, които се изключват взаимно, но принадлежат към определен общ общ кръг. Например:
A – кларинет;
B - китара;
C - цигулка;
D е музикален инструмент.
Понятията A, B, C не се пресичат едно спрямо друго, но всички те принадлежат към категорията на музикалните инструменти (концепцията D).
Противоположно (напротив)
Противоположните връзки между понятията предполагат, че тези понятия принадлежат към един и същи род. В същото време едно от понятията притежава определени свойства (характеристики), докато другото ги отрича, заменяйки ги с противоположни по природа. И така, ние си имаме работа с антоними. Например:
A е джудже;
B е гигант.
Ойлеров кръг с противоположни отношения между понятиятае разделен на три сегмента, първият от които съответства на концепция А, вторият на концепция Б, а третият на всички други възможни понятия.
Противоречие (противоречие)
В този случай и двете понятия са видове от един и същи род. Както в предишния пример, едно от понятията показва определени качества (характеристики), докато другото ги отрича. Обаче, за разлика от отношението на противоположностите, второто, противоположно понятие не замества отречените свойства с други, алтернативни. Например:
A е трудна задача;
B е лесна задача (не-A).
Изразявайки обема на понятията от този вид, кръгът на Ойлер е разделен на две части - третата, междинна връзка в този случай не съществува. По този начин понятията също са антоними. В същото време един от тях (A) става положителен (потвърждаващ някаква характеристика), а вторият (B или не-A) става отрицателен (отхвърляйки съответната характеристика): „бяла хартия“- „не бяла хартия“, „ национална история“– „чужда история“и др.
По този начин съотношението на обемите на понятията по отношение един спрямо друг е ключова характеристика, която определя кръговете на Ойлер.
Връзки между набори
Необходимо е също така да се прави разлика между понятията за елементи и множества, чийто обем се показва с кръгове на Ойлер. Концепцията за множество е заимствана от математическата наука и има доста широко значение. Примерите в логиката и математиката го показват като определен набор от обекти. Самите обекти саелементи от този набор. „Много са много мислени като едно“(Георг Кантор, основател на теорията на множествата).
Наборите се обозначават с главни букви: A, B, C, D… и т.н., елементите на наборите са обозначени с малки букви: a, b, c, d… и т.н. Примери за набор могат да бъдат ученици, които са в една класна стая, книги на определен рафт (или, например, всички книги в определена библиотека), страници в дневник, плодове в горска поляна и т.н.
От своя страна, ако определено множество не съдържа нито един елемент, тогава то се нарича празно и се обозначава със знака Ø. Например наборът от пресечни точки на успоредни прави, наборът от решения на уравнението x2=-5.
Решаване на проблеми
Ойлеровите кръгове се използват активно за решаване на голям брой проблеми. Примерите в логиката ясно демонстрират връзката между логическите операции и теорията на множествата. В този случай се използват таблици за истинност на понятията. Например кръгът с етикет A представлява областта на истината. Така че областта извън кръга ще представлява false. За да определите областта на диаграмата за логическа операция, трябва да засенчите областите, които определят кръга на Ойлер, в който стойностите му за елементи A и B ще бъдат верни.
Използването на кръговете на Ойлер намери широко практическо приложение в различни индустрии. Например в ситуация с професионален избор. Ако субектът е загрижен за избора на бъдеща професия, той може да се ръководи от следните критерии:
W – какво обичам да правя?
D – какво правя?
P– как мога да направя добри пари?
Нека начертаем това като диаграма: Ойлерови кръгове (примери в логиката - пресечна връзка):
Резултатът ще бъдат онези професии, които ще бъдат в пресечната точка на трите кръга.
Кръговете на Ойлер-Вен заемат отделно място в математиката (теорията на множествата) при изчисляване на комбинации и свойства. Ойлеровите кръгове на множеството елементи са затворени в изображението на правоъгълник, обозначаващ универсалното множество (U). Вместо кръгове могат да се използват и други затворени фигури, но същността на това не се променя. Фигурите се пресичат една с друга, според условията на задачата (в най-общия случай). Освен това тези цифри трябва да бъдат съответно етикетирани. Елементите на разглежданите множества могат да бъдат точки, разположени вътре в различни сегменти на диаграмата. Въз основа на него можете да засенчвате определени зони, като по този начин обозначавате новообразуваните комплекти.
С тези множества е възможно да се извършват основни математически операции: събиране (сума от набори от елементи), изваждане (разлика), умножение (продукт). Освен това, благодарение на диаграмите на Ойлер-Вен, е възможно да се сравняват набори по броя на елементите, включени в тях, без да ги броим.
