Символичната логика е клон на науката, който изучава правилните форми на разсъждение. Той играе основна роля във философията, математиката и компютърните науки. Подобно на философията и математиката, логиката има древни корени. Най-ранните трактати за естеството на правилното разсъждение са написани преди повече от 2000 години. Някои от най-известните философи на древна Гърция са писали за естеството на задържането преди повече от 2300 години. Древните китайски мислители писали за логически парадокси приблизително по същото време. Въпреки че корените му дават дълъг път, логиката все още е жизнено поле на изследване.
Математическа символична логика
Трябва също да можете да разбирате и да разсъждавате, поради което се обръщаше специално внимание на логическите заключения, когато нямаше специално оборудване за анализиране и диагностициране на различни области от живота. Съвременната символична логика възниква от работата на Аристотел (384-322 г. пр. н. е.), великият гръцки философ и един от най-влиятелните мислители на всички времена. Допълнителни успехи бяхаот гръцкия философ-стоик Хризип, който разработи основите на това, което днес наричаме пропозиционална логика.
Математическата или символната логика получава активно развитие едва през 19-ти век. Появяват се трудовете на Бул, де Морган, Шрьодер, в които учените алгебраизират учението на Аристотел, като по този начин формират основата за пропозиционалното смятане. Това е последвано от работата на Frege и Preece, в която са въведени понятията за променливи и квантори, които започват да се прилагат в логиката. Така се формира изчислението на предикатите - твърдения за субекта.
Логика предполагаше доказателство за безспорни факти, когато нямаше пряко потвърждение на истината. Логическите изрази трябваше да убедят събеседника в истинността.
Логическите формули са изградени на принципа на математическото доказателство. Така те убедиха събеседниците си в точността и надеждността.
Всички форми на аргументи обаче бяха написани с думи. Нямаше формални механизми, които биха създали логическа дедукция. Хората започнаха да се съмняват дали ученият се крие зад математически изчисления, криейки зад тях абсурдността на своите предположения, защото всеки може да представи своите аргументи в различна полза.
Раждане на значимостта: солидна логика в математиката като доказателство за истината
Към края на 18-ти век математическата или символната логика се появява като наука, която включва процеса на изучаване на правилността на заключенията. Те трябваше да имат логичен край и връзка. Но как трябваше да се докажеили обосновете данните от изследването?
Великият немски философ и математик Готфрид Лайбниц е един от първите, осъзнали необходимостта от формализиране на логически аргументи. Това беше мечтата на Лайбниц: да създаде универсален формален език на науката, който да сведе всички философски спорове до просто изчисление, преработвайки разсъжденията в подобни дискусии на този език. Математическата или символната логика се появява под формата на формули, които улесняват задачите и решенията във философските въпроси. Да, и тази област на науката стана по-значима, защото тогава безсмисленото философско бърборене стана дъното, на което самата математика разчита!
В наше време традиционната логика е символична аристотелова, която е проста и непретенциозна. През 19-ти век науката е изправена пред парадокса на множествата, което поражда несъответствия в онези много известни решения на логическите последователности на Аристотел. Този проблем трябваше да бъде решен, защото в науката не може да има дори повърхностни грешки.
Форалност на Люис Карол - символична логика и нейните трансформационни стъпки
Формалната логика вече е предмет, който е включен в курса. Въпреки това, той дължи появата си на символичния, този, който първоначално е създаден. Символичната логика е метод за представяне на логически изрази, използвайки символи и променливи, а не обикновен език. Това елиминира неяснотата, която придружава често срещаните езици като руския и прави нещата по-лесни.
Има много системи на символна логика, като:
- Класическо предложение.
- Логика на първата поръчка.
- Модал.
Символичната логика, както се разбира от Люис Карол, би трябвало да посочи верните и неверните твърдения в зададения въпрос. Всеки може да има отделни знаци или да изключва използването на определени знаци. Ето някои примери за твърдения, които затварят логическата верига от заключения:
- Всички хора, които са идентични с мен, са същества, които съществуват.
- Всички герои, които са идентични с Батман, са същества, които съществуват.
- Така че (тъй като Батман и аз никога не сме били виждани на едно и също място), всички хора, идентични с мен, са герои, идентични с Батман.
Това не е валидна форма силогизъм, но е същата структура като следната:
- Всички кучета са бозайници.
- Всички котки са бозайници.
- Ето защо всички кучета са котки.
Трябва да е очевидно, че горната символична форма в логиката не е валидна. В логиката обаче справедливостта се дефинира с този израз: ако предпоставката беше вярна, тогава заключението би било вярно. Това явно не е вярно. Същото ще важи и за примера на героя, който има същата форма. Валидността се прилага само за дедуктивни аргументи, които имат за цел да докажат заключението си със сигурност, тъй като дедуктивният аргумент не може да бъде валиден. Тези "корекции" се прилагат и в статистиката, когато има резултат от грешка в данните, и съвременната символна логика катоформалността на опростените данни помага за много от тези въпроси.
Индукция в съвременната логика
Индуктивният аргумент е предназначен само да демонстрира заключението си с голяма вероятност или опровержение. Индуктивните аргументи са или силни, или слаби.
Като индуктивен аргумент, примерът със супергероя Батман е просто слаб. Съмнително е, че Батман съществува, така че едно от твърденията вече е грешно с голяма вероятност. Въпреки че никога не сте го виждали на същото място като някой друг, е смешно да приемате този израз като доказателство. За да разберете същността на логиката, представете си:
- Никога не сте били виждани на същото място като роденият от Гвинея.
- Неправдоподобно е вие и гвинеецът да сте едно и също лице.
- Сега си представете, че вие и африканец никога не сте се срещали на едно и също място. Не е правдоподобно вие и африканец да сте едно и също лице. Но пътищата на гвинейците и африканците се пресичат, така че не можете да бъдете и двете едновременно. Доказателствата, че сте африканец или гвинеец, са намалели значително.
От тази гледна точка самата идея за символична логика не предполага априорна връзка с математиката. Всичко, което е необходимо, за да се разпознае логиката като символ, е широкото използване на символи за представяне на логически операции.
Логическа теория на Карол: заплитане или минимализъм в математическата философия
Карол научи някои необичайни начиникоето го принуди да решава доста трудни проблеми, пред които са изправени колегите му. Това му попречи да постигне значителен напредък поради сложността на логическата нотация и системите, които е получил в резултат на работата си. Raison d'être на символичната логика на Карол е проблемът за елиминирането. Как да намерим заключението, което трябва да се направи от набор от предпоставки относно връзката между дадени термини? Премахване на "средните условия".
Именно за решаване на този централен проблем на логиката в средата на деветнадесети век бяха изобретени символни, диаграмни, дори механични устройства. Въпреки това, методите на Карол за обработка на такива „логически последователности“(както той ги наричаше) не винаги давали правилното решение. По-късно философът публикува две статии за хипотези, които са отразени в списанието Mind: The Logical Paradox (1894) и What the Костенурката каза на Ахил (1895).
Тези документи бяха широко обсъждани от логиците от деветнадесети и двадесети век (Пърс, Ръсел, Райл, Прайор, Куайн и др.). Първата статия често се цитира като добра илюстрация на парадоксите на материалните импликации, докато втората води до това, което е известно като парадокс на изводите.
Простота на символите в логиката
Символичният език на логиката е заместител на дългите двусмислени изречения. Удобно, защото на руски можете да кажете едно и също нещо за различни обстоятелства, което ще направи възможно да се объркате, а в математиката символите ще заменят идентичността на всяко значение.
- Първо, краткостта е важна за ефективността. Символичната логика не може без знаци и обозначения, иначе би останала само философска, без право на истинско значение.
- На второ място, символите улесняват виждането и формулирането на логически истини. Точки 1 и 2 насърчават "алгебрично" манипулиране на логически формули.
- Трето, когато логиката изразява логически истини, символната формулировка насърчава изучаването на структурата на логиката. Това е свързано с предишната точка. По този начин символната логика се поддава на математическото изучаване на логиката, което е клон на предмета на математическата логика.
- Четвърто, когато се повтаря отговора, използването на символи е помощно средство за предотвратяване на неяснотата (напр. множество значения) на обикновения език. Освен това помага да се гарантира, че значението е уникално.
Накрая, символичният език на логиката позволява предикатното смятане, въведено от Фреге. През годините символната нотация за самото изчисление на предикатите беше усъвършенствана и направена по-ефективна, тъй като добрата нотация е важна в математиката и логиката.
Онтологията на Аристотел на античността
Учените се интересуват от работата на мислителя, когато започват да използват методите на Слинин в своите интерпретации. Книгата представя теории на класическата и модална логика. Важна част от концепцията беше свеждането до CNF в символната логика на формулата на логиката на предложението. Съкращението означава конюнкция или дизюнкция на променливи.
Slinin Ya. A. предложи сложните отрицания, които изискват многократно намаляване на формулите, да се превърнат в подформула. Така той преобразува някои стойности в по-минимални и реши проблемите в съкратена версия. Работата с отрицания беше сведена до формулите на де Морган. Законите, които носят името на Де Морган, са двойка свързани теореми, които правят възможно превръщането на твърдения и формули в алтернативни и често по-удобни. Законите са както следва:
- Отрицанието (или несъответствието) на дизюнкция е равно на обединението на отрицанието на алтернативите – p или q не е равно на p и не е q или символично ~ (p ⊦ q) ≡ ~p ~q.
- Отрицанието на връзката е равно на дизюнкцията на отрицанието на първоначалните конюнкти, т.е. не (p и q) не е равно на не p или не q, или символично ~ (p q) ≡ ~p ⊦ ~q.
Благодарение на тези първоначални данни много математици започнаха да прилагат формули за решаване на сложни логически задачи. Много хора знаят, че има курс от лекции, в който се изучава областта на пресичане на функциите. А интерпретацията на матрицата също се основава на логически формули. Каква е същността на логиката в алгебричната връзка? Това е линейна функция на ниво, когато можете да поставите науката за числата и философията в една и съща купа като "бездушна" и непечеливша област на разсъждението. Въпреки че Е. Кант смяташе другояче, като математик и философ. Той отбеляза, че философията е нищо, докато не се докаже противното. И доказателствата трябва да са научно обосновани. И така се случи, че философията започна да има значение благодарение насъвпадение с истинската природа на числата и изчисленията.
Прилагане на логиката в науката и материалния свят на реалността
Философите обикновено не прилагат науката за логическото разсъждение само към някакъв амбициозен проект след диплома (обикновено с висока степен на специализация, като добавяне към социални науки, психология или етична категоризация). Парадоксално е, че философската наука „роди” метода за пресмятане на истината и лъжата, но самите философи не го използват. И така, за кого са създадени и трансформирани толкова ясни математически силогизми?
- Програмисти и инженери използваха символна логика (която не е толкова различна от оригинала) за прилагане на компютърни програми и дори за проектиране на дъски.
- В случая с компютрите, логиката е станала достатъчно сложна, за да се справи с множество извиквания на функции, както и да усъвършенства математиката и да решава математически проблеми. Голяма част от него се основава на познания за решаване на математически проблеми и вероятности, комбинирани с логическите правила за елиминиране, разширяване и редуциране.
- Компютърните езици не могат лесно да бъдат разбрани, за да работят логически в рамките на познанията по математика и дори да изпълняват специални функции. Голяма част от компютърния език вероятно е патентована или разбираема само от компютрите. Сега програмистите често позволяват на компютрите да изпълняват логически задачи и да ги решават.
В хода на подобни предпоставки много учени предполагат създаването на усъвършенстван материал не в името на науката, а залекота на използване на медии и технологии. Може би скоро логиката ще проникне в сферите на икономиката, бизнеса и дори "двуликия" квант, който се държи едновременно като атом и като вълна.
Квантовата логика в съвременната практика на математическия анализ
Квантовата логика (QL) е разработена като опит за изграждане на пропозиционална структура, която би позволила да се опишат интересни събития в квантовата механика (QM). QL замени булевата структура, която не беше достатъчна, за да представи атомната сфера, въпреки че е подходяща за дискурса на класическата физика.
Математическата структура на пропозиционалния език за класическите системи е набор от мощности, частично подредени от набора за включване, с двойка операции, представляващи обединение и дизюнкция.
Тази алгебра е в съответствие с дискурса както на класическите, така и на релативистките явления, но е несъвместима в теория, която забранява, например, даването на едновременни стойности на истината. Предложението на основателите на QL е създадено да замени булевата структура на класическата логика с по-слаба структура, която би отслабила разпределителните свойства на конюнкцията и дизюнкцията.
Отслабване на установеното символично проникване: наистина ли е необходима истината в математиката като точна наука
По време на своето развитие квантовата логика започва да се отнася не само към традиционните, но и към няколко области на съвременните изследвания, които се опитват да разберат механиката от логическа гледна точка. Многократниквантови подходи за въвеждане на различни стратегии и проблеми, обсъждани в литературата по квантова механика. Когато е възможно, ненужните формули се елиминират, за да се даде интуитивно разбиране на понятията преди получаването или въвеждането на свързаната математика.
Вечен въпрос в тълкуването на квантовата механика е дали са налични фундаментално класически обяснения за квантовомеханичните явления. Квантовата логика изигра голяма роля в оформянето и усъвършенстването на тази дискусия, по-специално позволявайки ни да бъдем доста точни за това какво имаме предвид под класическо обяснение. Сега е възможно да се установи с точност кои теории могат да се считат за надеждни и кои са логичното заключение на математическите преценки.
