В днешния свят все повече използваме различни автомобили и джаджи. И не само когато е необходимо да се приложи буквално нечовешка сила: преместете товара, повдигнете го на височина, изкопайте дълъг и дълбок окоп и т. н. Автомобилите днес се сглобяват от роботи, храната се приготвя от мултикукъри, а елементарните аритметични изчисления се правят извършва се от калкулатори. Все по-често чуваме израза "булева алгебра". Може би е време да разберем ролята на човека в създаването на роботи и способността на машините да решават не само математически, но и логически проблеми.
Logic
В превод от гръцки, логиката е подредена система на мислене, която създава връзки между дадени условия и ви позволява да правите заключения въз основа на предпоставки и предположения. Доста често се питаме: "Логично ли е?" Полученият отговор потвърждава нашите предположения или критикува хода на мислите. Но процесът не спира: ние продължаваме да разсъждаваме.
Понякога броят на условията (уводните) е толкова голям, а връзките между тях са толкова сложни и сложни, че човешкият мозък не е в състояние да „смила“всичко наведнъж. Може да отнеме повече от един месец (седмица, година), за да разберете какво се случва. Носъвременният живот не ни дава такива интервали от време за вземане на решения. И прибягваме до помощта на компютрите. И тук се появява алгебрата на логиката със свои собствени закони и свойства. С изтеглянето на всички изходни данни позволяваме на компютъра да разпознае всички връзки, да премахне противоречията и да намери задоволително решение.
Математика и логика
Прочутият Готфрид Вилхелм Лайбниц формулира концепцията за "математическа логика", чиито проблеми са разбираеми само за тесен кръг учени. Тази посока не предизвиква особен интерес и до средата на 19-ти век малко хора знаеха за математическата логика.
Голям интерес в научната общност предизвика спор, в който англичанинът Джордж Бул обяви намерението си да създаде клон на математиката, който няма абсолютно никакво практическо приложение. Както си спомняме от историята, по това време индустриалното производство се развива активно, разработват се всякакви спомагателни машини и металорежещи машини, тоест всички научни открития са имали практическа насоченост.
Поглеждайки напред, да кажем, че булевата алгебра е най-използваната част от математиката в съвременния свят. Така Бул загуби спора си.
Джордж Бул
Самата личност на автора заслужава специално внимание. Дори като се има предвид, че в миналото хората са израснали преди нас, все още е невъзможно да не се отбележи, че на 16-годишна възраст Дж. Бул преподава в селско училище, а на 20-годишна възраст отваря собствено училище в Линкълн. Математикът владееше пет чужди езика, а в свободното си време четеше произведенияНютон и Лагранж. И всичко това е за сина на обикновен работник!
През 1839 г. Бул за първи път изпраща своите научни статии в Cambridge Mathematical Journal. Ученият е на 24 години. Работата на Бул толкова заинтересува членовете на Кралското общество, че през 1844 г. той получи медал за приноса си в развитието на математическия анализ. Още няколко публикувани произведения, които описват елементите на математическата логика, позволяват на младия математик да заеме поста професор в Колежа в Корк. Припомнете си, че самият Бул нямаше образование.
Идея
По принцип булевата алгебра е много проста. Има твърдения (логически изрази), които от гледна точка на математиката могат да бъдат определени само с две думи: „вярно“или „невярно“. Например през пролетта дърветата цъфтят - вярно, през лятото вали сняг - лъжа. Красотата на тази математика е, че няма строга нужда да се използват само числа. Всички твърдения с недвусмислено значение са доста подходящи за алгебрата на съжденията.
По този начин алгебрата на логиката може да се използва буквално навсякъде: при планиране и писане на инструкции, анализиране на противоречива информация за събития и определяне на последователността от действия. Най-важното е да разберем, че е напълно маловажно как определяме истинността или неверността на твърдението. Тези „как“и „защо“трябва да се абстрахират. Само констатацията на факта има значение: вярно-невярно.
Разбира се, за програмирането са важни функциите на алгебрата на логиката, които се записват от съответнитезнаци и символи. А да ги научиш означава да овладееш нов чужд език. Нищо не е невъзможно.
Основни понятия и дефиниции
Без да навлизаме в дълбочина, нека се заемем с терминологията. Значи булева алгебра предполага:
- изявления;
- логически операции;
- функции и закони.
Изявленията са всякакви утвърдителни изрази, които не могат да се тълкуват двусмислено. Те се записват като числа (5 > 3) или се формулират с познати думи (слонът е най-големият бозайник). В същото време фразата „жирафът няма врата“също има право на съществуване, само булева алгебра ще я определи като „невярна“.
Всички твърдения трябва да са недвусмислени, но могат да бъдат елементарни и съставни. Последните използват логически връзки. Тоест, в алгебрата на съжденията, съставните изявления се формират чрез добавяне на елементарни твърдения посредством логически операции.
Булева алгебра операции
Вече помним, че операциите в алгебрата на съжденията са логични. Точно както алгебрата на числата използва аритметика за събиране, изваждане или сравняване на числа, елементите на математическата логика ви позволяват да правите сложни твърдения, да отричате или изчислявате крайния резултат.
Логическите операции за формализиране и опростяване се записват от формули, познати ни в аритметиката. Свойствата на булевата алгебра правят възможно записването на уравнения и изчисляването на неизвестни. Логическите операции обикновено се записват с помощта на таблица на истинността. Неговите колонидефинирайте елементите на изчислението и операцията, която се извършва върху тях, а линиите показват резултата от изчислението.
Основни логически действия
Най-често срещаните операции в булевата алгебра са отрицание (НЕ) и логическо И и ИЛИ. Почти всички действия в алгебрата на съжденията могат да бъдат описани по този начин. Нека проучим всяка от трите операции по-подробно.
Отрицанието (не) се прилага само за един елемент (операнд). Следователно операцията на отрицание се нарича унарна. За да напишете понятието "не A", използвайте следните символи: ¬A, A¯¯¯ или !A. В табличен вид изглежда така:
Функцията за отрицание се характеризира със следното твърдение: ако A е вярно, тогава B е невярно. Например Луната се върти около Земята – вярно; Земята се върти около луната - невярно.
Логическо умножение и събиране
Логическото И се нарича операция на конюнкция. Какво означава? Първо, че може да се приложи към два операнда, т.е. и е двоична операция. Второ, че само в случай на истинност на двата операнда (и A и B) самият израз е верен. Поговорката „Търпението и работата ще смелят всичко“подсказва, че само и двата фактора ще помогнат на човек да се справи с трудностите.
Символи, използвани за писане: A∧B, A⋅B или A&&B.
Съединението е подобно на умножението в аритметиката. Понякога казват, че - логическо умножение. Ако умножим елементите на таблицата ред по ред, получаваме резултат, подобен на логическите разсъждения.
Разделянето е логическа операция ИЛИ. Той взема стойността на истинатакогато поне едно от твърденията е вярно (А или Б). Пише се така: A∨B, A+B или A||B. Таблиците на истината за тези операции са:
Разделянето е като аритметическо събиране. Операцията по логическо събиране има само едно ограничение: 1+1=1. Но помним, че в цифров формат математическата логика е ограничена до 0 и 1 (където 1 е вярно, 0 е невярно). Например твърдението „в музей можете да видите шедьовър или да срещнете интересен събеседник“означава, че можете да видите произведения на изкуството или можете да срещнете интересен човек. В същото време не се изключва възможността и двете събития да настъпят едновременно.
Функции и закони
И така, вече знаем какви логически операции използва булевата алгебра. Функциите описват всички свойства на елементите на математическата логика и ви позволяват да опростите сложните съставни условия на задачи. Най-разбираемото и просто свойство изглежда е отхвърлянето на производни операции. Производните са изключително ИЛИ, импликация и еквивалентност. Тъй като сме изучавали само основните операции, ще разгледаме и свойствата само на тях.
Асоциативността означава, че в изрази като "и A, и B, и C" редът на операндите няма значение. Формулата е написана така:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Както виждате, това е характерно не само за конюнкция, но и за дизюнкция.
Комутативността посочва, че резултатътконюнкция или дизюнкция не зависят от това кой елемент е бил разгледан първи:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Дистрибутивността позволява разширяване на скоби в сложни логически изрази. Правилата са подобни на отварящите скоби при умножение и събиране в алгебрата:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Свойствата на единица и нула, които могат да бъдат един от операндите, също са подобни на алгебричното умножение по нула или единица и събиране с едно:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Идемпотентността ни казва, че ако по отношение на два равни операнда резултатът от една операция се окаже подобен, тогава можем да „изхвърлим“допълнителните операнди, които усложняват хода на разсъждението. И конюнкцията и дизюнкцията са идемпотентни операции.
B∧B=B; B∨B=B.
Абсорбцията също ни позволява да опростим уравненията. Абсорбцията заявява, че когато друга операция със същия елемент се приложи към израз с един операнд, резултатът е операндът от поглъщащата операция.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Последователност от операции
Последователността на операциите е от немалко значение. Всъщност, що се отнася до алгебрата, има приоритет на функциите, които булевата алгебра използва. Формулите могат да бъдат опростени само ако се наблюдава значимостта на операциите. Класирайки от най-значимото към най-малкото, получаваме следната последователност:
1. Отказ.
2. Съвпад.
3. Дизюнкция, изключителнаИЛИ.
4. Внушение, еквивалентност.
Както можете да видите, само отрицанието и връзката нямат еднакъв приоритет. И приоритетът на дизюнкцията и XOR са равни, както и приоритетите на импликацията и еквивалентността.
Функции за импликация и еквивалентност
Както вече казахме, в допълнение към основните логически операции, математическата логика и теорията на алгоритмите използват производни. Най-често използваните са импликация и еквивалентност.
Импликация, или логическо следствие, е изявление, в което едното действие е условие, а другото е следствие от неговото изпълнение. С други думи, това е изречение с предлози „ако… тогава“. „Ако обичаш да яздиш, обичай да носиш шейни.“Тоест за каране на ски трябва да затегнете шейната нагоре по хълма. Ако няма желание да се движите надолу по планината, тогава не е нужно да носите шейната. Пише се така: A→B или A⇒B.
Еквивалентността предполага, че полученото действие се случва само когато и двата операнда са верни. Например нощта се превръща в ден, когато (и само когато) слънцето изгрее над хоризонта. На езика на математическата логика това твърдение се изписва по следния начин: A≡B, A⇔B, A==B.
Други закони на булева алгебра
Алгебрата на съжденията се развива и много заинтересовани учени формулират нови закони. За най-известни се считат постулатите на шотландския математик О. де Морган. Той забеляза и определи такива свойства като близко отрицание, допълнение и двойно отрицание.
Затваряне на отрицанието означава, че няма отрицание преди скобата:не (A или B)=не A или НЕ B.
Когато операнд се отрича, независимо от неговата стойност, се говори за допълнение:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
И накрая, двойното отрицание компенсира себе си. Тези. или отрицанието изчезва преди операнда, или остава само едно.
Как да решавате тестове
Математическата логика предполага опростяване на дадени уравнения. Точно както в алгебрата, първо трябва да направите условието възможно най-лесно (да се отървете от сложните входове и операции с тях) и след това да започнете да търсите правилния отговор.
Какво може да се направи, за да се опрости? Преобразувайте всички извлечени операции в прости. След това отворете всички скоби (или обратно, извадете го от скобите, за да съкратите този елемент). Следващата стъпка трябва да бъде прилагането на свойствата на булевата алгебра на практика (поглъщане, свойства на нула и единица и т.н.).
В крайна сметка уравнението трябва да се състои от минималния брой неизвестни, комбинирани от прости операции. Най-лесният начин да намерите решение е да постигнете голям брой близки негативи. Тогава отговорът ще изскочи сякаш сам.
