Широк спектър от релации на примера на множествата е придружен от голям брой понятия, като се започне с техните дефиниции и се завършва с аналитичен анализ на парадоксите. Разнообразието от концепцията, разгледана в статията за снимачната площадка, е безкрайно. Въпреки че, когато говорим за двойни типове, това означава бинарни връзки между няколко стойности. А също и между обекти или изрази.
По правило двоичните отношения се обозначават със символа R, тоест ако xRx за която и да е стойност x от полето R, такова свойство се нарича рефлексивно, в което x и x са приети обекти на мислене, и R служи като знак за това дали или друга форма на връзка между индивидите. В същото време, ако изразите xRy® или yRx, тогава това показва състояние на симетрия, където ® е знак за импликация, подобен на съюза „ако … тогава … . И накрая, декодирането на надпис (xRy Ùy Rz) ®xRz разказва за преходна връзка, а знакът Ù е съюз.
Бинарна връзка, която е едновременно рефлексивна, симетрична и преходна, се нарича връзка на еквивалентност. Отношението f е функция, а равенството y=z следва от Î f и Î f. Лесно може да се приложи проста двоична функцияна два прости аргумента в определен ред и само в този случай той му осигурява смисъл, насочен към тези два израза, взети в конкретен случай.
Трябва да се каже, че f преобразува x в y,
ако f е функция с диапазон x и диапазон y. Въпреки това, когато f екстраполира x към y и y Í z, това кара f да покаже x в z. Един прост пример: ако f(x)=2x е вярно за всяко цяло число x, тогава се казва, че преобразува подписания набор от всички известни цели числа в множеството от същите цели числа, но този път четни числа. Както бе споменато по-горе, бинарните отношения, които са едновременно рефлексивни, симетрични и транзитивни, са еквивалентни отношения.
Въз основа на горното, отношенията на еквивалентност на бинарните отношения се определят от свойства:
- рефлексивност - съотношение (M ~ N);
- симетрии - ако равенството е M ~ N, тогава ще има N ~ M;
- транзитивност - ако две равенства M ~ N и N ~ P, то в резултат M ~ P.
Нека разгледаме по-подробно декларираните свойства на бинарните отношения. Рефлексивността е една от характеристиките на определени връзки, при които всеки елемент от изследваното множество е в дадено равенство на себе си. Например, между числата a=c и a³ c има рефлексивни връзки, тъй като винаги a=a, c=c, a³ a, c³ c. В същото време отношението на неравенството a>c е антирефлексно поради невъзможността за съществуване на неравенството a>a. Аксиомата на това свойство е кодирана със знаци: aRc®aRa Ù cRc, тук символът ® означава думата "включва" (или "включва"), а знакът Ù - е съюзът "и" (или съюз). От това твърдение следва, че ако съждението aRc е вярно, изразите aRa и cRc също са верни.
Симетрията предполага наличието на връзка, дори ако умствените обекти са разменени, тоест при симетрична връзка, пренареждането на обектите не води до трансформация от типа "бинарни отношения". Например, връзката на равенство a=c е симетрична поради еквивалентността на връзката c=a; предложението a¹c също е същото, тъй като съответства на връзката с¹a.
Транзитивно множество е свойство, което удовлетворява следното изискване: y н x, z н y ® z н x, където ® е знак, който замества думите: "ако …, то …". Формулата се чете устно, както следва: "Ако y зависи от x, z принадлежи на y, тогава z също зависи от x".
