Триъгълник на Паскал. Свойства на триъгълника на Паскал

Съдържание:

Триъгълник на Паскал. Свойства на триъгълника на Паскал
Триъгълник на Паскал. Свойства на триъгълника на Паскал
Anonim

Прогресът на човечеството до голяма степен се дължи на откритията, направени от гении. Един от тях е Блез Паскал. Творческата му биография за пореден път потвърждава истинността на израза на Лион Фойхтвангер „Талантлив човек, талантлив във всичко“. Всички научни постижения на този велик учен са трудни за преброяване. Сред тях е едно от най-елегантните изобретения в света на математиката - триъгълникът на Паскал.

Триъгълник на Паскал
Триъгълник на Паскал

Няколко думи за гения

Блез Паскал почина рано според съвременните стандарти, на 39-годишна възраст. Въпреки това през краткия си живот той се отличи като изключителен физик, математик, философ и писател. Благодарни потомци нарекоха в негова чест единицата за налягане и популярния език за програмиране Pascal. Използва се в продължение на почти 60 години, за да научи как да се пишат различни кодове. Например, с негова помощ всеки ученик може да напише програма за изчисляване на площта на триъгълник в Pascal, както и да изследва свойствата на веригата, околокоето ще бъде обсъдено по-долу.

Дейността на този учен с необикновено мислене обхваща голямо разнообразие от области на науката. По-специално, Блез Паскал е един от основателите на хидростатиката, математическия анализ, някои области на геометрията и теорията на вероятностите. Освен това той:

  • създадоха механичен калкулатор, известен като колелото Pascal;
  • предостави експериментално доказателство, че въздухът има еластичност и тегло;
  • установено, че барометър може да се използва за предсказване на времето;
  • изобретил количката;
  • изобретява омнибуса - конски карети с фиксирани маршрути, които по-късно се превръщат в първия вид редовен обществен транспорт и т.н.
Примери за триъгълник на Паскал
Примери за триъгълник на Паскал

Аритметичният триъгълник на Паскал

Както вече споменахме, този велик френски учен направи огромен принос към математическата наука. Един от неговите абсолютни научни шедьоври е „Трактат за аритметичния триъгълник“, който се състои от биномни коефициенти, подредени в определен ред. Свойствата на тази схема са поразителни с разнообразието си и сама по себе си потвърждава поговорката "Всичко гениално е просто!".

Малко история

За да бъдем честни, трябва да се каже, че всъщност триъгълникът на Паскал е бил известен в Европа още в началото на 16-ти век. По-специално, неговото изображение може да се види на корицата на учебник по аритметика от известния астроном Питър Апиан от университета в Инголщат. Подобен триъгълник също е показан като илюстрация.в книга на китайския математик Ян Хуей, публикувана през 1303г. Забележителният персийски поет и философ Омар Хайям също е наясно с неговите свойства в началото на 12 век. Освен това се смята, че го е срещнал от трактатите на арабски и индийски учени, написани по-рано.

Паскал площ на триъгълник
Паскал площ на триъгълник

Описание

Преди да разгледате най-интересните свойства на триъгълника на Паскал, красив в своето съвършенство и простота, си струва да знаете какво представлява.

Научно казано, тази числова схема е безкрайна триъгълна таблица, образувана от биномни коефициенти, подредени в определен ред. В горната му част и отстрани са числата 1. Останалите позиции са заети от числа, равни на сбора от двете числа, разположени едно до друго над тях. Освен това всички линии на триъгълника на Паскал са симетрични спрямо неговата вертикална ос.

Основни функции

Триъгълникът на Паскал поразява със своето съвършенство. За всеки ред с номер n (n=0, 1, 2…) вярно:

  • първото и последното число са 1;
  • втори и предпоследен - n;
  • третото число е равно на триъгълното число (броят на кръговете, които могат да бъдат подредени в равностранен триъгълник, т.е. 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
  • Четвъртото число е тетраедрично, т.е. е пирамида с триъгълник в основата.

В допълнение, сравнително наскоро, през 1972 г., беше установено друго свойство на триъгълника на Паскал. За да за негоза да разберете, трябва да напишете елементите на тази схема под формата на таблица с изместване на редове с 2 позиции. След това отбележете числата, делими на номера на реда. Оказва се, че номерът на колоната, в която са маркирани всички числа, е просто число.

Същият трик може да се направи и по друг начин. За да направите това, в триъгълника на Паскал числата се заменят с остатъците от тяхното деление с номера на реда в таблицата. След това линиите се подреждат в получения триъгълник, така че следващият да започне 2 колони вдясно от първия елемент на предишния. Тогава колоните с числа, които са прости числа, ще се състоят само от нули, а тези със съставни числа ще съдържат поне една нула.

Връзка с бинома на Нютон

Както знаете, това е името на формулата за разширяване в термини на неотрицателна степен на сумата от две променливи, което изглежда така:

триъгълник на паскал
триъгълник на паскал
формула за триъгълник на Паскал
формула за триъгълник на Паскал

Коефициентите, присъстващи в тях, са равни на C m =n! / (m! (n - m)!), където m е поредното число в ред n на триъгълника на Паскал. С други думи, като имате тази таблица под ръка, можете лесно да повдигнете произволни числа на степен, като предварително сте ги разложили на два члена.

По този начин триъгълникът на Паскал и биномът на Нютон са тясно свързани.

свойства на триъгълника на Паскал
свойства на триъгълника на Паскал

Математически чудеса

Внимателно изследване на триъгълника на Паскал разкрива, че:

  • сумата от всички числа в реда ссериен номер n (от 0) е 2;
  • ако линиите са подравнени вляво, тогава сумите от числа, които са разположени по диагоналите на триъгълника на Паскал, вървящи отдолу нагоре и отляво надясно, са равни на числата на Фибоначи;
  • първият "диагонал" се състои от естествени числа в ред;
  • всеки елемент от триъгълника на Паскал, намален с единица, е равен на сбора от всички числа, разположени вътре в успоредника, който е ограничен от левия и десния диагонал, пресичащи се на това число;
  • във всеки ред на диаграмата, сумата от числа на четни места е равна на сумата от елементи на нечетни места.
Аритметичен триъгълник на Паскал
Аритметичен триъгълник на Паскал

Триъгълник на Серпински

Такава интересна математическа схема, доста обещаваща по отношение на решаването на сложни задачи, се получава чрез оцветяване на четните числа на изображението на Pascal в един цвят, а нечетните в друг.

Триъгълникът на Сиерпински може да бъде построен по друг начин:

  • в щриховата схема Pascal средният триъгълник е пребоядисан в различен цвят, който се образува чрез свързване на средните точки на страните на оригиналния;
  • направете точно същото с три небоядисани, разположени в ъглите;
  • ако процедурата продължава неограничено време, тогава резултатът трябва да бъде двуцветна фигура.

Най-интересното свойство на триъгълника Серпински е неговата самоподобност, тъй като се състои от 3 негови копия, които са намалени 2 пъти. Това ни позволява да припишем тази схема на фрактални криви и те, както е показано от най-новитеизследванията са най-подходящи за математическо моделиране на облаци, растения, речни делти и самата вселена.

Формула за триъгълник на Паскал
Формула за триъгълник на Паскал

Няколко интересни задачи

Къде се използва триъгълникът на Паскал? Примерите за задачи, които могат да бъдат решени с негова помощ, са доста разнообразни и принадлежат към различни области на науката. Нека да разгледаме някои от по-интересните.

Проблем 1. Някои голям град, заобиколен от крепостна стена, има само една входна порта. На първото кръстовище главният път се разделя на две. Същото се случва и на всеки друг. 210 души влизат в града. На всяко от пресечките, които срещат, те са разделени наполовина. Колко хора ще се намерят на всяко кръстовище, когато вече няма да може да се споделя. Нейният отговор е ред 10 от триъгълника на Паскал (формулата за коефициента е представена по-горе), където числата 210 са разположени от двете страни на вертикалната ос.

Задача 2. Има 7 имена на цветове. Трябва да направите букет от 3 цветя. Необходимо е да се разбере по колко различни начина може да се направи това. Този проблем е от областта на комбинаториката. За да го решим, отново използваме триъгълника на Паскал и получаваме на 7-ми ред на трета позиция (номериране и в двата случая от 0) числото 35.

Триъгълник на Паскал и бином на Нютон
Триъгълник на Паскал и бином на Нютон

Сега знаете какво е измислил великият френски философ и учен Блез Паскал. Неговият прочут триъгълник, когато се използва правилно, може да се превърне в истински спасител за решаване на много проблеми, особено от полетокомбинаторика. Освен това може да се използва за решаване на множество мистерии, свързани с фракталите.

Препоръчано: