Обяснителният речник на Ожегов гласи, че петоъгълникът е геометрична фигура, ограничена от пет пресичащи се прави линии, образуващи пет вътрешни ъгъла, както и всеки обект с подобна форма. Ако даден многоъгълник има еднакви страни и ъгли, тогава той се нарича правилен (петоъгълник).
Какво е интересното в обикновения петоъгълник?
В тази форма е построена добре познатата сграда на Министерството на отбраната на Съединените щати. От обемните правилни многогранници само додекаедърът има лица с форма на петоъгълник. А в природата кристалите напълно липсват, чиито лица биха приличали на правилен петоъгълник. В допълнение, тази фигура е многоъгълник с минимален брой ъгли, който не може да се използва за облицовка на зона. Само петоъгълник има същия брой диагонали като страните му. Съгласете се, интересно е!
Основни свойства и формули
Използване на формулите запроизволен правилен многоъгълник, можете да определите всички необходими параметри, които има петоъгълникът.
- Централен ъгъл α=360 / n=360/5=72°.
- Вътрешен ъгъл β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. Съответно, сумата от вътрешните ъгли е 540°.
- Съотношението на диагонала към страната е (1+√5) /2, тоест "златното сечение" (приблизително 1, 618).
- Дължината на страната, която има обикновен петоъгълник, може да се изчисли с помощта на една от трите формули, в зависимост от това кой параметър вече е известен:
- ако около него е описана окръжност и радиусът му R е известен, тогава a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
- в случай, когато кръг с радиус r е вписан в правилен петоъгълник, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
- случва се, че вместо радиуси е известна стойността на диагонала D, тогава страната се определя по следния начин: a ≈ D/1, 618.
- Площта на правилния петоъгълник се определя отново в зависимост от това какъв параметър знаем:
- ако има вписан или описан кръг, тогава се използва една от двете формули:
S=(nar)/2=2, 5ar или S=(nR2sin α)/2 ≈ 2, 3776R2;
площта може да се определи и като се знае само дължината на страната a:
S=(5a2tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a2.
Правилен петоъгълник: конструкция
Тази геометрична фигура може да бъде изградена по различни начини. Например, впишете го в кръг с даден радиус или го изградете на базата на дадена странична страна. Последователността на действията е описана в „Елементи“на Евклид около 300 г. пр. н. е. Във всеки случай имаме нужда от пергел и линийка. Помислете за метода на изграждане, като използвате даден кръг.
1. Изберете произволен радиус и начертайте кръг, като маркирате центъра му с O.
2. На линията на кръга изберете точка, която ще служи като един от върховете на нашия петоъгълник. Нека това е точка A. Свържете точки O и A с права линия.
3. Начертайте линия през точка O, перпендикулярна на линия OA. Определете пресечната точка на тази линия с линията на окръжността като точка B.
4. В средата на разстоянието между точки O и B изградете точка C.
5. Сега начертайте окръжност, чийто център ще бъде в точка C и която ще премине през точка A. Мястото на нейното пресичане с линия OB (тя ще бъде вътре в първия кръг) ще бъде точка D.
6. Построете окръжност, минаваща през D, чийто център ще бъде в A. Местата на нейното пресичане с оригиналната окръжност трябва да бъдат отбелязани с точки E и F.
7. Сега построете кръг, чийто център ще бъде в E. Трябва да направите това, така че да минава през A. Другото му пресичане на оригиналния кръг трябва да бъде обозначено с точка G.
8. Накрая начертайте окръжност през A с център в точка F. Маркирайте друго пресичане на оригиналната окръжност с точка H.
9. Сега лявопросто свържете върхове A, E, G, H, F. Нашият редовен петоъгълник ще бъде готов!
