Триъгълник, квадрат, шестоъгълник - тези фигури са известни на почти всички. Но не всеки знае какво е правилен многоъгълник. Но това са едни и същи геометрични фигури. Правилният многоъгълник е този, който има равни ъгли и страни. Има много такива фигури, но всички те имат едни и същи свойства и за тях важат едни и същи формули.
Свойства на правилните многоъгълници
Всеки правилен многоъгълник, независимо дали е квадрат или осмоъгълник, може да бъде вписан в кръг. Това основно свойство често се използва при конструирането на фигура. Освен това кръгът може да бъде вписан и в многоъгълник. В този случай броят на точките на контакт ще бъде равен на броя на неговите страни. Важно е кръгът, вписан в правилен многоъгълник, да има общ център с него. Тези геометрични фигури са обект на същите теореми. Всяка странана правилен n-ъгълник е свързан с радиуса R на описаната около него окръжност. Следователно може да се изчисли по следната формула: a=2R ∙ sin180°. Чрез радиуса на окръжността можете да намерите не само страните, но и периметъра на многоъгълника.
Как да намерите броя на страните на правилен многоъгълник
Всеки правилен n-ъгъл се състои от определен брой равни помежду си сегменти, които, когато са свързани, образуват затворена линия. В този случай всички ъгли на оформената фигура имат една и съща стойност. Многоъгълниците се делят на прости и сложни. Първата група включва триъгълник и квадрат. Сложните многоъгълници имат повече страни. Те включват и звездообразни фигури. При сложни правилни многоъгълници страните се намират, като се вписват в кръг. Да дадем доказателство. Начертайте правилен многоъгълник с произволен брой страни n. Опишете кръг около него. Посочете радиуса R. Сега си представете, че е даден n-ъгълник. Ако точките на неговите ъгли лежат върху окръжност и са равни една на друга, тогава страните могат да бъдат намерени по формулата: a=2R ∙ sinα: 2.
Намиране на броя на страните на вписан правилен триъгълник
Равностранният триъгълник е правилен многоъгълник. За него важат същите формули като за квадрата и n-ъгълника. Триъгълникът ще се счита за правилен, ако има страни със същата дължина. В този случай ъглите са 60⁰. Построете триъгълник с дадена дължина на страната a. Знаейки неговата медиана и височина,можете да намерите стойността на неговите страни. За да направим това, ще използваме метода за намиране чрез формулата a \u003d x: cosα, където x е медианата или височината. Тъй като всички страни на триъгълника са равни, получаваме a=b=c. Тогава следното твърдение ще бъде вярно a=b=c=x: cosα. По същия начин можете да намерите стойността на страните в равнобедрен триъгълник, но x ще бъде дадена височина. В същото време тя трябва да се проектира стриктно върху основата на фигурата. И така, знаейки височината x, намираме страната a на равнобедрен триъгълник, използвайки формулата a=b=x: cosα. След като намерите стойността на a, можете да изчислите дължината на основата c. Нека приложим теоремата на Питагор. Ще търсим стойността на половината от основата c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Тогава c=2xtanα. Ето един прост начин да намерите броя на страните на всеки вписан многоъгълник.
Изчислете страните на квадрат, вписан в кръг
Като всеки друг вписан правилен многоъгълник, квадратът има равни страни и ъгли. За него важат същите формули като за триъгълника. Можете да изчислите страните на квадрат, като използвате стойността на диагонала. Нека разгледаме този метод по-подробно. Известно е, че диагоналът разполовява ъгъла. Първоначално стойността му беше 90 градуса. Така след разделянето се образуват два правоъгълни триъгълника. Основните им ъгли ще бъдат 45 градуса. Съответно, всяка страна на квадрата ще бъде равна, тоест: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, където e е диагоналът на квадрата или основата на правоъгълен триъгълник, образуван след деление. Това не е единственият начиннамиране на страните на квадрат. Нека впишем тази фигура в кръг. Знаейки радиуса на тази окръжност R, намираме страната на квадрата. Ще го изчислим, както следва a4=R√2. Радиусите на правилните многоъгълници се изчисляват по формулата R=a: 2tg (360o: 2n), където a е дължината на страната.
Как да изчислим периметъра на n-ъгълник
Периметърът на n-ъгълник е сумата от всичките му страни. Лесно е да се изчисли. За да направите това, трябва да знаете стойностите на всички страни. За някои видове полигони има специални формули. Те ви позволяват да намерите периметъра много по-бързо. Известно е, че всеки правилен многоъгълник има равни страни. Следователно, за да се изчисли периметърът му, е достатъчно да се знае поне един от тях. Формулата ще зависи от броя на страните на фигурата. Като цяло изглежда така: P \u003d an, където a е стойността на страната, а n е броят на ъглите. Например, за да намерите периметъра на правилен осмоъгълник със страна 3 см, трябва да го умножите по 8, тоест P=3 ∙ 8=24 см. За шестоъгълник със страна 5 см, ние изчисляваме както следва: P=5 ∙ 6=30 см. И така за всеки многоъгълник.
Намиране на периметъра на успоредник, квадрат и ромб
В зависимост от това колко страни има правилен многоъгълник, периметърът му се изчислява. Това прави задачата много по-лесна. Всъщност, за разлика от други фигури, в този случай не е необходимо да търсите всичките му страни, достатъчно е само една. По същия принцип намираме периметъра причетириъгълници, тоест квадрат и ромб. Въпреки факта, че това са различни фигури, формулата за тях е една и съща P=4a, където a е страната. Да вземем пример. Ако страната на ромб или квадрат е 6 см, тогава намираме периметъра, както следва: P=4 ∙ 6=24 см. Паралелограмът има само противоположни страни. Следователно периметърът му се намира по различен метод. И така, трябва да знаем дължината a и ширината b на фигурата. Тогава прилагаме формулата P=(a + c) ∙ 2. Паралелограм, в който всички страни и ъгли между тях са равни, се нарича ромб.
Намиране на периметъра на равностранен и правоъгълен триъгълник
Периметърът на правилен равностранен триъгълник може да се намери по формулата P=3a, където a е дължината на страната. Ако е неизвестен, може да се намери чрез медианата. В правоъгълен триъгълник само две страни са равни. Основата може да бъде намерена чрез питагоровата теорема. След като стойностите на трите страни станат известни, изчисляваме периметъра. Може да се намери чрез прилагане на формулата P \u003d a + b + c, където a и b са равни страни, а c е основата. Припомнете си, че в равнобедрен триъгълник a \u003d b \u003d a, следователно, a + b \u003d 2a, след това P=2a + c. Например, страната на равнобедрен триъгълник е 4 см, намерете неговата основа и периметър. Изчисляваме стойността на хипотенузата с помощта на питагоровата теорема c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Сега изчисляваме периметъра Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Как да намерите ъглите на правилен многоъгълник
Регулярен многоъгълниксе среща в живота ни всеки ден, например обикновен квадрат, триъгълник, осмоъгълник. Изглежда, че няма нищо по-лесно от това да изградите тази фигура сами. Но това е само на пръв поглед. За да конструирате всеки n-ъгъл, трябва да знаете стойността на неговите ъгли. Но как ги намирате? Дори учени от древността се опитват да изградят правилни многоъгълници. Те се досетиха да ги поставят в кръгове. И тогава върху него бяха отбелязани необходимите точки, свързани с прави линии. За прости фигури проблемът с конструкцията е решен. Формули и теореми са получени. Например, Евклид в известното си произведение "Началото" се занимава с решаване на задачи за 3-, 4-, 5-, 6- и 15-ъгълника. Той намери начини да ги конструира и да намери ъгли. Нека видим как да направим това за 15-гон. Първо трябва да изчислите сумата от вътрешните му ъгли. Необходимо е да се използва формулата S=180⁰(n-2). И така, ни е даден 15-ъгълник, което означава, че числото n е 15. Заместваме познатите ни данни във формулата и получаваме S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Намерихме сумата от всички вътрешни ъгли на 15-ъгълник. Сега трябва да получим стойността на всеки от тях. Ъгълът е общо 15. Изчисляваме 2340⁰: 15=156⁰. Това означава, че всеки вътрешен ъгъл е 156⁰, сега с помощта на линийка и пергел можете да изградите обикновен 15-ъгълник. Но какво да кажем за по-сложните n-ъгълници? Векове наред учените се борят да разрешат този проблем. Открит е едва през 18 век от Карл Фридрих Гаус. Той успя да построи 65537-гон. Оттогава проблемът официално се счита за напълно решен.
Изчисляване на ъгли на n-ъгълницив радиани
Разбира се, има няколко начина за намиране на ъглите на многоъгълниците. Най-често те се изчисляват в градуси. Но можете да ги изразите и в радиани. Как да го направя? Необходимо е да се процедира по следния начин. Първо, намираме броя на страните на правилния многоъгълник, след което от него изваждаме 2. И така, получаваме стойността: n - 2. Умножете намерената разлика по числото n („pi”=3, 14). Сега остава само да разделим получения продукт на броя на ъглите в n-ъгълника. Помислете за тези изчисления, като използвате примера на същата петнадесетстранна. И така, числото n е 15. Приложете формулата S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Това, разбира се, не е единственият начин за изчисляване на ъгъла в радиани. Можете просто да разделите размера на ъгъла в градуси на числото 57, 3. В крайна сметка тези много градуса са еквивалентни на един радиан.
Изчислете стойността на ъглите в градуси
Освен градуси и радиани, можете да опитате да намерите стойността на ъглите на правилен многоъгълник в градуси. Това се прави по следния начин. Извадете 2 от общия брой ъгли, разделете получената разлика на броя на страните на правилния многоъгълник. Умножаваме намерения резултат по 200. Между другото, такава единица за измерване на ъгли като градушка практически не се използва.
Изчисляване на външни ъгли на n-ъгълници
За всеки правилен многоъгълник, с изключение на вътрешния, можете да изчислите и външния ъгъл. Стойността му се намира по същия начин, както при другите фигури. Така че, за да намерите външния ъгъл на правилен многоъгълник, имате нуждапознайте значението на вътрешното. Освен това знаем, че сумата от тези два ъгъла винаги е 180 градуса. Следователно правим изчисленията, както следва: 180⁰ минус стойността на вътрешния ъгъл. Откриваме разликата. Тя ще бъде равна на стойността на ъгъла, съседен на него. Например, вътрешният ъгъл на квадрат е 90 градуса, така че външният ъгъл ще бъде 180⁰ - 90⁰=90⁰. Както виждаме, не е трудно да го намерите. Външният ъгъл може да приеме стойност от +180⁰ до -180⁰, съответно.
