Тези геометрични фигури ни заобикалят навсякъде. Изпъкналите многоъгълници могат да бъдат естествени, като пчелна пита, или изкуствени (изработени от човека). Тези фигури се използват при производството на различни видове покрития, в живописта, архитектурата, декорациите и др. Изпъкналите многоъгълници имат свойството, че всичките им точки са от една и съща страна на права линия, която минава през двойка съседни върхове на тази геометрична фигура. Има и други определения. Многоъгълникът се нарича изпъкнал, ако е разположен в една полуравнина по отношение на всяка права линия, съдържаща една от неговите страни.
Изпъкнали многоъгълници
В хода на елементарната геометрия винаги се разглеждат само прости многоъгълници. За да разберете всички свойства на такивагеометрични форми, е необходимо да се разбере тяхната природа. Като начало трябва да се разбере, че всяка линия се нарича затворена, чиито краища съвпадат. Освен това фигурата, образувана от него, може да има различни конфигурации. Многоъгълникът е обикновена затворена прекъсната линия, в която съседните връзки не са разположени на една и съща права линия. Неговите връзки и върхове са съответно страните и върховете на тази геометрична фигура. Простата полилиния не трябва да има пресечни точки.
Върховете на многоъгълник се наричат съседни, ако представляват краищата на една от неговите страни. Геометрична фигура, която има n-тия брой върхове, а оттам и n-тия брой страни, се нарича n-ъгълник. Самата прекъсната линия се нарича граница или контур на тази геометрична фигура. Многоъгълна равнина или плосък многоъгълник се нарича крайната част на всяка равнина, ограничена от нея. Съседните страни на тази геометрична фигура се наричат сегменти от прекъсната линия, произлизаща от един връх. Те няма да бъдат съседни, ако идват от различни върхове на многоъгълника.
Други дефиниции на изпъкнали многоъгълници
В елементарната геометрия има още няколко еквивалентни дефиниции, показващи кой многоъгълник се нарича изпъкнал. Всички тези твърдения са еднакво верни. Многоъгълникът се счита за изпъкнал, ако:
• всеки сегмент, който свързва всякакви две точки вътре в него, лежи изцяло в него;
• вътре в неговсичките му диагонали лежат;
• всеки вътрешен ъгъл не надвишава 180°.
Многоъгълник винаги разделя равнината на 2 части. Единият от тях е ограничен (може да бъде затворен в кръг), а другият е неограничен. Първата се нарича вътрешна област, а втората е външната област на тази геометрична фигура. Този многоъгълник е пресичане (с други думи, общ компонент) на няколко полуравнини. Освен това всеки сегмент, който завършва в точки, които принадлежат на многоъгълника, напълно му принадлежи.
Разновидности на изпъкнали многоъгълници
Определението на изпъкнал многоъгълник не показва, че има много видове от тях. И всеки от тях има определени критерии. И така, изпъкнали многоъгълници, които имат вътрешен ъгъл от 180°, се наричат слабо изпъкнали. Изпъкнала геометрична фигура, която има три върха, се нарича триъгълник, четири - четириъгълник, пет - петоъгълник и т.н. Всеки от изпъкналите n-ъгълници отговаря на следното съществено изискване: n трябва да е равно или по-голямо от 3. Всеки от триъгълниците са изпъкнали. Геометрична фигура от този тип, в която всички върхове са разположени върху една и съща окръжност, се нарича вписана в кръг. Изпъкнал многоъгълник се нарича описан, ако всичките му страни близо до окръжността го докосват. Два полигона се наричат равни само ако могат да бъдат насложени чрез наслагване. Равнинният многоъгълник се нарича многоъгълна равнина.(част от равнината), която е ограничена от тази геометрична фигура.
Правни изпъкнали многоъгълници
Правилните многоъгълници са геометрични фигури с равни ъгли и страни. Вътре в тях има точка 0, която е на еднакво разстояние от всеки от върха си. Нарича се център на тази геометрична фигура. Сегментите, свързващи центъра с върховете на тази геометрична фигура, се наричат апотеми, а тези, които свързват точка 0 със страните, се наричат радиуси.
Правилният четириъгълник е квадрат. Равностранен триъгълник се нарича равностранен триъгълник. За такива фигури има следното правило: всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник е 180°(n-2)/ n, където n е броят на върховете на тази изпъкнала геометрична фигура.
Площта на всеки правилен многоъгълник се определя по формулата:
S=ph, където p е половината от сбора на всички страни на дадения многоъгълник, а h е дължината на апотема.
Свойства на изпъкнали многоъгълници
Изпъкналите многоъгълници имат определени свойства. Така че в него задължително се намира сегмент, който свързва всякакви 2 точки от такава геометрична фигура. Доказателство:
Да приемем, че P е даден изпъкнал многоъгълник. Вземаме 2 произволни точки, например A, B, които принадлежат на P. Според съществуващата дефиниция на изпъкнал многоъгълник, тези точки са разположени от една и съща страна на правата, която съдържа всяка страна на P. Следователно AB също има това свойство и се съдържа в P. Изпъкнал многоъгълник винаги може да бъде разделен на няколко триъгълника от абсолютно всички диагонали, изтеглени от един от неговите върхове.
Ъгли на изпъкнали геометрични фигури
Ъглите на изпъкнал многоъгълник са ъглите, образувани от неговите страни. Вътрешните ъгли са разположени във вътрешната област на дадена геометрична фигура. Ъгълът, който се образува от неговите страни, които се събират в един връх, се нарича ъгъл на изпъкнал многоъгълник. Ъглите, съседни на вътрешните ъгли на дадена геометрична фигура, се наричат външни. Всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник, разположен вътре в него, е:
180° - x, където x е стойността на външния ъгъл. Тази проста формула работи за всякакви геометрични фигури от този тип.
По принцип за външните ъгли има следното правило: всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник е равен на разликата между 180° и стойността на вътрешния ъгъл. Може да има стойности в диапазона от -180° до 180°. Следователно, когато вътрешният ъгъл е 120°, външният ъгъл ще бъде 60°.
Сбор от ъгли на изпъкнали многоъгълници
Сборът от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник се задава по формулата:
180°(n-2), където n е броят на върховете на n-ъгълника.
Сборът от ъглите на изпъкнал многоъгълник е доста лесен за изчисляване. Помислете за всяка такава геометрична фигура. За да се определи сумата от ъглите вътре в изпъкнал многоъгълник, е необходимосвържете един от неговите върхове с други върхове. В резултат на това действие се получават (n-2) триъгълници. Знаем, че сумата от ъглите на всеки триъгълник винаги е 180°. Тъй като техният брой във всеки многоъгълник е (n-2), сумата от вътрешните ъгли на такава фигура е 180° x (n-2).
Сборът от ъглите на изпъкнал многоъгълник, а именно всеки два вътрешни и съседни външни ъгъла, за дадена изпъкнала геометрична фигура винаги ще бъде равен на 180°. Въз основа на това можете да определите сумата от всичките му ъгли:
180 x n.
Сборът от вътрешните ъгли е 180°(n-2). Въз основа на това сумата от всички външни ъгли на тази фигура се задава по формулата:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Сборът от външните ъгли на всеки изпъкнал многоъгълник винаги ще бъде 360° (независимо от броя на страните).
Външният ъгъл на изпъкнал многоъгълник обикновено се представя от разликата между 180° и стойността на вътрешния ъгъл.
Други свойства на изпъкнал многоъгълник
В допълнение към основните свойства на тези геометрични форми, те имат и други, които възникват при манипулирането им. И така, всеки от многоъгълниците може да бъде разделен на няколко изпъкнали n-ъгъла. За да направите това, е необходимо да продължите всяка от неговите страни и да изрежете тази геометрична фигура по тези прави линии. Също така е възможно да се раздели всеки многоъгълник на няколко изпъкнали части по такъв начин, че върховете на всяко от парчетата да съвпадат с всичките му върхове. От такава геометрична фигура триъгълниците могат да бъдат направени много просто, като се начертаят всичкидиагонали от един връх. По този начин всеки многоъгълник може евентуално да бъде разделен на определен брой триъгълници, което се оказва много полезно при решаването на различни проблеми, свързани с такива геометрични фигури.
Периметър на изпъкнал многоъгълник
Сегменти от прекъсната линия, наречени страни на многоъгълник, най-често се означават със следните букви: ab, bc, cd, de, ea. Това са страните на геометрична фигура с върхове a, b, c, d, e. Сборът от дължините на всички страни на този изпъкнал многоъгълник се нарича неговия периметър.
Обиколка на многоъгълник
Изпъкналите многоъгълници могат да бъдат вписани и описани. Кръг, който докосва всички страни на тази геометрична фигура, се нарича вписан в нея. Такъв многоъгълник се нарича описан. Центърът на окръжност, която е вписана в многоъгълник, е пресечната точка на ъглите на всички ъгли в дадена геометрична фигура. Площта на такъв многоъгълник е:
S=pr, където r е радиусът на вписаната окръжност, а p е полупериметърът на дадения многоъгълник.
Кръг, съдържащ върховете на многоъгълник, се нарича описан около него. Освен това тази изпъкнала геометрична фигура се нарича вписана. Центърът на окръжността, която е описана около такъв многоъгълник, е пресечната точка на така наречените перпендикулярни бисектриси на всички страни.
Диагонали на изпъкнали геометрични фигури
Диагоналите на изпъкнал многоъгълник са сегменти, коитосвързване на несъседни върхове. Всеки от тях се намира вътре в тази геометрична фигура. Броят на диагоналите на такъв n-ъгъл се задава по формулата:
N=n (n – 3)/ 2.
Броят на диагоналите на изпъкнал многоъгълник играе важна роля в елементарната геометрия. Броят на триъгълниците (K), на които е възможно да се раздели всеки изпъкнал многоъгълник, се изчислява по следната формула:
K=n – 2.
Броят на диагоналите на изпъкнал многоъгълник винаги зависи от броя на неговите върхове.
Разлагане на изпъкнал многоъгълник
В някои случаи за решаване на геометрични задачи е необходимо да се раздели изпъкнал многоъгълник на няколко триъгълника с непресичащи се диагонали. Този проблем може да бъде решен чрез извличане на конкретна формула.
Определяне на проблема: нека наречем правилно разделяне на изпъкнал n-ъгъл на няколко триъгълника по диагонали, които се пресичат само във върховете на тази геометрична фигура.
Решение: Да предположим, че Р1, Р2, Р3 …, Pn са върхове на този n-ъгълник. Числото Xn е броят на неговите дялове. Нека внимателно разгледаме получения диагонал на геометричната фигура Pi Pn. Във всеки от редовните дялове P1 Pn принадлежи на определен триъгълник P1 Pi Pn, който има 1<i<n. Изхождайки от това и приемайки, че i=2, 3, 4 …, n-1, получаваме (n-2) групи от тези дялове, които включват всички възможни частни случаи.
Нека i=2 е една група правилни дялове, винаги съдържащи диагонала Р2 Pn. Броят на дяловете, които влизат в него, е същият като броя на дяловете(n-1)-ъгълник P2 P3 P4… Pn. С други думи, равен на Xn-1.
Ако i=3, тогава тази друга група дялове винаги ще съдържа диагоналите Р3 Р1 и Р3 Pn. В този случай броят на редовните дялове, които се съдържат в тази група, ще съвпадне с броя на дяловете на (n-2)-ъгълника P3 P4 … Pn. С други думи, това ще бъде равно на Xn-2.
Нека i=4, тогава сред триъгълниците един правилен дял със сигурност ще съдържа триъгълник P1 P4 Pn, към който ще приляга четириъгълникът P1 P2 P3 P4, (n-3)-ъгълник P4 P5 … Pn. Броят на правилните дялове на такъв четириъгълник е X4, а броят на дяловете на (n-3)-ъгълник е Xn-3. Въз основа на гореизложеното можем да кажем, че общият брой правилни дялове, съдържащи се в тази група, е Xn-3 X4. Други групи с i=4, 5, 6, 7… ще съдържат Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … редовни дялове.
Нека i=n-2, тогава броят на правилните разделяния в тази група ще бъде същият като броя на разделянията в групата, където i=2 (с други думи, равен на Xn-1).
Тъй като X1=X2=0, X3=1, X4=2…, тогава броят на всички дялове на изпъкнал многоъгълник е:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Пример:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Брой правилни дялове, пресичащи един диагонал вътре
При проверка на специални случаи може да се стигне додопускането, че броят на диагоналите на изпъкнали n-ъгълници е равен на произведението на всички дялове на тази фигура с (n-3).
Доказателство за това предположение: представете си, че P1n=Xn(n-3), тогава всеки n-ъгъл може да бъде разделен на (n-2)-триъгълници. Освен това от тях може да бъде съставен (n-3)-четириъгълник. Заедно с това всеки четириъгълник ще има диагонал. Тъй като в тази изпъкнала геометрична фигура могат да бъдат начертани два диагонала, това означава, че допълнителни (n-3) диагонали могат да бъдат начертани във всеки (n-3)-четириъгълник. Въз основа на това можем да заключим, че във всеки редовен дял е възможно да се начертаят (n-3)-диагонали, които отговарят на условията на този проблем.
Площ на изпъкнали многоъгълници
Често при решаване на различни задачи от елементарна геометрия става необходимо да се определи площта на изпъкнал многоъгълник. Да приемем, че (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n е последователността от координати на всички съседни върхове на многоъгълник, който няма самопресечни точки. В този случай неговата площ се изчислява по следната формула:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), където (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
