При изследване на свойствата на квадратно уравнение е поставено ограничение - за дискриминант, по-малък от нула, няма решение. Веднага беше уговорено, че говорим за набор от реални числа. Любознателният ум на математик ще се интересува - каква е тайната, съдържаща се в клаузата за реалните стойности?
С течение на времето математиците въвеждат концепцията за комплексни числа, където условната стойност на втория корен от минус едно се приема като единица.
Историческа справка
Математическата теория се развива последователно, от просто към сложно. Нека да разберем как е възникнала концепцията, наречена "комплексно число" и защо е необходима.
От незапомнени времена основата на математиката е била обичайната сметка. Изследователите познават само естествения набор от ценности. Събирането и изваждането бяха прости. Тъй като икономическите отношения стават по-сложни, умножението започва да се използва вместо добавяне на едни и същи стойности. Има обратна операция заумножение - деление.
Концепцията за естествено число ограничава използването на аритметични операции. Невъзможно е да се решат всички задачи за деление на множество от цели числа. Работата с дроби доведе първо до концепцията за рационални стойности, а след това и до ирационални стойности. Ако за рационалното е възможно да се посочи точното местоположение на точката на линията, то за ирационалното е невъзможно да се посочи такава точка. Можете само да приблизите интервала. Обединението на рационални и ирационални числа образува реално множество, което може да бъде представено като определена линия с даден мащаб. Всяка стъпка по линията е естествено число, а между тях има рационални и ирационални стойности.
Ерата на теоретичната математика започна. Развитието на астрономията, механиката, физиката изисква решаването на все по-сложни уравнения. Като цяло бяха намерени корените на квадратното уравнение. При решаването на по-сложен кубичен полином учените се сблъскаха с противоречие. Концепцията за кубичен корен от отрицателно има смисъл, но за корен квадратен се получава несигурност. Освен това квадратното уравнение е само частен случай на кубичното.
През 1545 г. италианецът Дж. Кардано предлага да се въведе концепцията за въображаемо число.
Това число е вторият корен от минус едно. Терминът комплексно число се формира окончателно само триста години по-късно, в трудовете на известния математик Гаус. Той предложи официално да се разширят всички закони на алгебрата до въображаемото число. Истинската линия е разширена досамолети. Светът е по-голям.
Основни понятия
Извикайте редица функции, които имат ограничения върху реалния набор:
- y=arcsin(x), дефиниран между отрицателен и положителен 1.
- y=ln(x), десетичният логаритъм има смисъл с положителни аргументи.
- квадратен корен y=√x, изчислен само за x ≧ 0.
Означавайки i=√(-1), въвеждаме такова понятие като въображаемо число, което ще премахне всички ограничения от областта на дефиниране на горните функции. Изрази като y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) имат смисъл в някакво пространство от комплексни числа.
Алгебричната форма може да се запише като израз z=x + i×y върху множество от реални стойности на x и y, и i2 =-1.
Новата концепция премахва всички ограничения за използването на всяка алгебрична функция и наподобява графика на права линия в координати на реални и въображаеми стойности.
Сложен самолет
Геометричната форма на комплексните числа визуално ни позволява да представим много от техните свойства. На оста Re(z) маркираме реалните x стойности, на Im(z) - въображаемите стойности на y, след което точката z на равнината ще покаже необходимата комплексна стойност.
Дефиниции:
- Re(z) - реална ос.
- Im(z) - означава въображаемата ос.
- z - условна точка на комплексно число.
- Извиква се числовата стойност на дължината на вектора от нула до zмодул.
- Реални и въображаеми оси разделят равнината на четвъртини. С положителна стойност на координатите - I кв. Когато аргументът на реалната ос е по-малък от 0, а въображаемата ос е по-голяма от 0 - II четвърт. Когато координатите са отрицателни - III кв. Последното, четвърто тримесечие съдържа много положителни реални стойности и отрицателни въображаеми стойности.
По този начин, на равнина със стойности на координати x и y, винаги може да се визуализира точка от комплексно число. Символът i е въведен, за да отдели реалната част от въображаемата.
Свойства
- Когато стойността на въображаемия аргумент е нула, получаваме само число (z=x), което се намира на реалната ос и принадлежи на реалния набор.
- Специален случай, когато стойността на реалния аргумент става нула, изразът z=i×y съответства на местоположението на точката върху въображаемата ос.
- Общата форма на z=x + i×y ще бъде за ненулеви стойности на аргументите. Показва местоположението на точката, характеризираща комплексното число в една от четвъртините.
Тригонометрична нотация
Припомнете си полярната координатна система и дефиницията на тригонометричните функции sin и cos. Очевидно е, че с помощта на тези функции е възможно да се опише местоположението на всяка точка от равнината. За да направите това, достатъчно е да знаете дължината на полярния лъч и ъгъла на наклон спрямо реалната ос.
Определение. Запис от вида ∣z ∣, умножен по сумата от тригонометричните функции cos(ϴ) и имагинерната част i ×sin(ϴ), се нарича тригонометрично комплексно число. Тук обозначението е ъгълът на наклон спрямо реалната ос
ϴ=arg(z) и r=∣z∣, дължина на лъча.
От дефиницията и свойствата на тригонометричните функции следва една много важна формула на Moivre:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Използвайки тази формула, е удобно да се решават много системи от уравнения, съдържащи тригонометрични функции. Особено когато възникне проблемът с издигането до степен.
Модул и фаза
За да завършим описанието на сложен набор, предлагаме две важни дефиниции.
Познавайки Питагоровата теорема, лесно е да се изчисли дължината на лъча в полярната координатна система.
r=∣z∣=√(x2 + y2), такава нотация на комплексно пространство се нарича " модул" и характеризира разстоянието от 0 до точка в равнината.
Ъгълът на наклона на комплексния лъч спрямо реалната линия ϴ обикновено се нарича фаза.
Дефиницията показва, че реалните и въображаемите части се описват с помощта на циклични функции. А именно:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Обратно, фазата е свързана с алгебричните стойности чрез формулата:
ϴ=arctan(x / y) + µ, въведена е корекция µ, за да се вземе предвид периодичността на геометричните функции.
Формула на Ойлер
Математиците често използват експоненциалната форма. Комплексните равнинни числа се записват като изрази
z=r × ei×ϴ , което следва от формулата на Ойлер.
Този запис се използва широко за практическото изчисляване на физически величини. Форма на представяне във форматаЕкспоненциалните комплексни числа са особено удобни за инженерни изчисления, където става необходимо да се изчисляват вериги със синусоидални токове и е необходимо да се знае стойността на интегралите на функциите с даден период. Самите изчисления служат като инструмент при проектирането на различни машини и механизми.
Определяне на операции
Както вече беше отбелязано, всички алгебрични закони за работа с основни математически функции важат за комплексни числа.
Сборна операция
При добавяне на сложни стойности, техните реални и въображаеми части също се добавят.
z=z1 + z2 където z1 и z2 - общи комплексни числа. Преобразувайки израза, след отваряне на скобите и опростяване на нотацията, получаваме реалния аргумент x=(x1 + x2), въображаемия аргумент y=(y 1 + y2).
На графиката изглежда като събиране на два вектора, според добре познатото правило на паралелограма.
Операция на изваждане
Разглежда се като специален случай на събиране, когато едното число е положително, другото е отрицателно, тоест намира се в огледалната четвърт. Алгебричната нотация изглежда като разликата между реални и въображаеми части.
z=z1 - z2, или, като се вземат предвид стойностите на аргументите, подобно на събирането операция, получаваме за реалните стойности x=(x1 - x2) и въображаем y=(y1- y2).
Умножение на комплексната равнина
Използвайки правилата за работа с полиноми, извеждаме формулатаза решаване на комплексни числа.
Следвайки общите алгебрични правила z=z1×z2, опишете всеки аргумент и избройте подобни. Реалните и въображаемите части могат да бъдат написани така:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Изглежда по-красиво, ако използваме експоненциални комплексни числа.
Изразът изглежда така: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
По-просто, модулите се умножават и фазите се добавят.
Division
Когато разглеждаме операцията на деление като обратна на умножението, получаваме прост израз в експоненциална нотация. Разделянето на стойността z1 на z2 е резултат от разделянето на техните модули и фазовата разлика. Формално, когато се използва експоненциалната форма на комплексни числа, изглежда така:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
Под формата на алгебрична нотация, операцията за разделяне на числата на комплексната равнина е написана малко по-сложно:
z=z1 / z2.
Описвайки аргументи и извършвайки полиномни трансформации, е лесно да получите стойностиx=x1 × x2 + y1 × y2, съответно y=x2 × y1 - x1 × y2 обаче в рамките на описаното пространство този израз има смисъл, ако z2 ≠ 0.
Извличане на корена
Всичко по-горе може да се приложи при дефиниране на по-сложни алгебрични функции - повишаване на всяка степен и обратно към нея - извличане на корена.
Използвайки общата концепция за повишаване на степен n, получаваме дефиницията:
zn =(r × eiϴ).
Използвайки общи свойства, пренапишете като:
zn =rn × eiϴ.
Имаме проста формула за повдигане на комплексно число в степен.
От дефиницията на степента получаваме много важно следствие. Четната степен на въображаемата единица винаги е 1. Всяка нечетна степен на въображаемата единица винаги е -1.
Сега нека проучим обратната функция - извличане на корена.
За улеснение на нотацията, нека вземем n=2. Квадратният корен w от комплексната стойност z в комплексната равнина C се счита за израза z=±, валиден за всеки реален аргумент, по-голям или равен на нула. За w ≦ 0 няма решение.
Нека разгледаме най-простото квадратно уравнение z2 =1. Използвайки формули за сложни числа, пренапишете r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. От записа може да се види, че r2 =1 и ϴ=0, следователно имаме уникално решение, равно на 1. Но това противоречи на идеята, че z=-1 също отговаря на определението за квадратен корен.
Нека да разберем какво не вземаме под внимание. Ако си припомним тригонометричната нотация, тогава възстановяваме твърдението - при периодична промяна на фазата ϴ комплексното число не се променя. Нека p означава стойността на периода, тогава имаме r2 × ei2ϴ =ei(0+p), откъдето 2ϴ=0 + p, или ϴ=p / 2. Следователно, ei0 =1 и eip/2 =-1. Получихме второто решение, което съответства на общото разбиране за квадратния корен.
И така, за да намерим произволен корен от комплексно число, ще следваме процедурата.
- Напишете експоненциалната форма w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k е произволно цяло число.
- Желаното число също е представено във формата на Ойлер z=r × eiϴ.
- Използвайте общата дефиниция на функцията за извличане на корен r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- От общите свойства на равенството на модулите и аргументите пишем rn =∣w∣ и nϴ=arg (w) + p×k.
- Окончателният запис на корена на комплексно число се описва с формулата z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Забележка. Стойността на ∣w∣, по дефиниция,е положително реално число, така че коренът на всяка степен има смисъл.
Поле и спрежение
В заключение даваме две важни дефиниции, които са от малко значение за решаването на приложни задачи с комплексни числа, но са от съществено значение за по-нататъшното развитие на математическата теория.
Каза се, че изразите за събиране и умножение образуват поле, ако удовлетворяват аксиомите за който и да е елемент от комплексната равнина z:
- Сложната сума не се променя от смяна на местата на сложни термини.
- Изявлението е вярно - в сложен израз всяка сума от две числа може да бъде заменена с тяхната стойност.
- Има неутрална стойност 0, за която z + 0=0 + z=z е вярно.
- За всяко z има противоположност - z, добавянето към което дава нула.
- При смяна на местата на сложни фактори, сложният продукт не се променя.
- Умножението на произволни две числа може да бъде заменено с тяхната стойност.
- Има неутрална стойност 1, умножението с която не променя комплексното число.
- За всяко z ≠ 0 има обратна стойност на z-1, което се умножава по 1.
- Умножаването на сбора от две числа по една трета е еквивалентно на операцията по умножаване на всяко от тях по това число и добавяне на резултатите.
- 0 ≠ 1.
Числата z1 =x + i×y и z2 =x - i×y се наричат конюгат.
Теорема. За спрежение твърдението е вярно:
- Спрягането на сбора е равно на сбора от конюгирани елементи.
- Конюгатът на продукта епродукт на спрежение.
- Спрягането на спрежението е равно на самото число.
В общата алгебра такива свойства се наричат автоморфизми на полето.
Примери
Следвайки дадените правила и формули за комплексни числа, можете лесно да работите с тях.
Нека разгледаме най-простите примери.
Задача 1. Използвайки уравнението 3y +5 x i=15 - 7i, определете x и y.
Решение. Припомнете си определението за комплексни равенства, тогава 3y=15, 5x=-7. Следователно, x=-7 / 5, y=5.
Задача 2. Изчислете стойностите 2 + i28 и 1 + i135.
Решение. Очевидно 28 е четно число, от следствието от дефиницията на комплексно число в степента имаме i28 =1, което означава, че изразът 2 + i 28 =3. Втората стойност, i135 =-1, след това 1 + i135 =0.
Задача 3. Изчислете произведението на стойностите 2 + 5i и 4 + 3i.
Решение. От общите свойства на умножението на комплексни числа получаваме (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Новата стойност ще бъде -7 + 26i.
Задача 4. Изчислете корените на уравнението z3 =-i.
Решение. Има няколко начина за намиране на комплексно число. Нека разгледаме един от възможните. По дефиниция, ∣ - i∣=1, фазата за -i е -p / 4. Оригиналното уравнение може да бъде пренаписано като r3ei3ϴ =e-p/4+pk, откъдето z=e-p / 12 + pk/3, за всяко цяло число k.
Наборът от решения има формата (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Защо се нуждаем от комплексни числа
Историята знае много примери, когато учените, работещи върху теория, дори не се замислят за практическото приложение на своите резултати. Математиката е преди всичко игра на ума, стриктно спазване на причинно-следствените връзки. Почти всички математически конструкции се свеждат до решаване на интегрални и диференциални уравнения, а тези от своя страна, с известно приближение, се решават чрез намиране на корените на полиномите. Тук за първи път се сблъскваме с парадокса на въображаемите числа.
Учените натуралисти, решавайки напълно практически задачи, прибягвайки до решения на различни уравнения, откриват математически парадокси. Интерпретацията на тези парадокси води до абсолютно невероятни открития. Един такъв пример е двойната природа на електромагнитните вълни. Комплексните числа играят решаваща роля за разбирането на техните свойства.
Това от своя страна намери практическо приложение в оптиката, радиоелектрониката, енергетиката и много други технологични области. Друг пример, много по-труден за разбиране на физическите явления. Антиматерията беше предсказана на върха на писалката. И само много години по-късно започват опитите да се синтезира физически.
Не си мислете, че само във физиката има такива ситуации. Не по-малко интересни открития се правят в дивата природа, в синтеза на макромолекули, по време на изследването на изкуствения интелект. И всичко е благодарение наразширяване на нашето съзнание, отдалечаване от простото събиране и изваждане на естествени стойности.
