Триъгълник е многоъгълник с три страни (три ъгъла). Най-често страните се обозначават с малки букви, съответстващи на главните букви, които означават противоположни върхове. В тази статия ще се запознаем с видовете тези геометрични фигури, теоремата, която определя каква е сумата от ъглите на триъгълник.
Прегледи по ъгли
Разграничават се следните типове многоъгълници с три върха:
- остър ъгъл, при който всички ъгли са остри;
- правоъгълник, с един прав ъгъл, докато страните, които го образуват, се наричат катета, а страната, която е поставена срещу десния ъгъл, се нарича хипотенуза;
- тъп, когато единият ъгъл е тъп;
- равнобедрен, в който двете страни са равни и се наричат странични, а третата е основата на триъгълника;
- равностранни, имащи и трите равни страни.
Свойства
Те подчертават основните свойства, характерни за всеки тип триъгълник:
- срещу по-голямата страна винаги има по-голям ъгъл и обратно;
- противоположните страни с еднакъв размер са равни ъгли и обратно;
- всеки триъгълник има два остри ъгъла;
- външният ъгъл е по-голям от всеки вътрешен ъгъл, който не е в съседство с него;
- сумата от всеки два ъгъла винаги е по-малка от 180 градуса;
- външният ъгъл е равен на сбора от другите два ъгъла, които не се пресичат с него.
Теорема за сумата на ъглите на триъгълника
Теоремата гласи, че ако съберете всички ъгли на дадена геометрична фигура, която се намира в евклидовата равнина, тогава тяхната сума ще бъде 180 градуса. Нека се опитаме да докажем тази теорема.
Нека имаме произволен триъгълник с върхове от KMN.
През връх M начертайте права линия, успоредна на правата KN (тази права се нарича още евклидова права линия). Маркираме точка A върху нея по такъв начин, че точките K и A са разположени от различни страни на правата MN. Получаваме равни ъгли AMN и KNM, които, подобно на вътрешните, лежат напречно и се образуват от секущата MN заедно с прави KN и MA, които са успоредни. От това следва, че сумата от ъглите на триъгълника, разположени във върховете M и H, е равна на размера на ъгъла KMA. И трите ъгъла образуват сбора, който е равен на сбора от ъглите KMA и MKN. Тъй като тези ъгли са вътрешни едностранни по отношение науспоредни прави линии KN и MA със секуща KM, тяхната сума е 180 градуса. Теоремата доказана.
Последствие
Следното следствие следва от доказаната по-горе теорема: всеки триъгълник има два остри ъгъла. За да докажем това, нека приемем, че дадена геометрична фигура има само един остър ъгъл. Може също да се приеме, че нито един от ъглите не е остър. В този случай трябва да има поне два ъгъла, които са равни или по-големи от 90 градуса. Но тогава сумата от ъглите ще бъде по-голяма от 180 градуса. Но това не може да бъде, защото според теоремата сумата от ъглите на триъгълника е 180 ° - не повече и не по-малко. Това трябваше да се докаже.
Външен ъглов имот
Каква е сумата от външните ъгли на триъгълник? На този въпрос може да се отговори по един от двата начина. Първата е, че е необходимо да се намери сборът от ъглите, които се вземат по един във всеки връх, тоест три ъгъла. Второто предполага, че трябва да намерите сумата от всичките шест ъгъла във върховете. Първо, нека се справим с първия вариант. И така, триъгълникът съдържа шест външни ъгъла - по два във всеки връх.
Всяка двойка има равни ъгли, защото са вертикални:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Освен това е известно, че външният ъгъл на триъгълника е равен на сумата от два вътрешни ъгъла, които не се пресичат с него. Следователно, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
От това излиза, че сумата от външниъглите, които се вземат по един във всеки връх, ще бъдат равни на:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Като се има предвид, че сборът от ъглите е 180 градуса, може да се твърди, че ∟A + ∟B + ∟C=180°. А това означава, че ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Ако се използва вторият вариант, тогава сумата от шестте ъгъла ще бъде съответно два пъти по-голяма. Това означава, че сумата от външните ъгли на триъгълника ще бъде:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Прасен триъгълник
Каква е сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник? Отговорът на този въпрос отново следва от теоремата, която гласи, че ъглите в триъгълника са 180 градуса. И нашето твърдение (свойство) звучи така: в правоъгълен триъгълник острите ъгли се равняват на 90 градуса. Нека докажем неговата истинност.
Нека ни бъде даден триъгълник KMN, в който ∟Н=90°. Необходимо е да се докаже, че ∟K + ∟M=90°.
И така, според теоремата за ъгловите суми ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Нашето условие казва, че ∟Н=90°. Така се оказва, ∟K + ∟M + 90°=180°. Тоест ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Това трябваше да докажем.
В допълнение към горните свойства на правоъгълен триъгълник, можете да добавите следното:
- ъглите, които лежат срещу краката са остри;
- хипотенузата е триъгълна повече от всеки от катета;
- сборът на катетите е по-голям от хипотенузата;
- крактриъгълник, който лежи срещу ъгъл от 30 градуса, е половината от хипотенузата, тоест равен на половината от нея.
Като друго свойство на тази геометрична фигура може да се различи Питагоровата теорема. Тя заявява, че в триъгълник с ъгъл от 90 градуса (правоъгълник) сумата от квадратите на катета е равна на квадрата на хипотенузата.
Сборът от ъглите на равнобедрен триъгълник
По-рано казахме, че равнобедрен е многоъгълник с три върха, съдържащ две равни страни. Това свойство на дадена геометрична фигура е известно: ъглите в основата й са равни. Нека го докажем.
Вземете триъгълника KMN, който е равнобедрен, KN е неговата основа.
От нас се изисква да докажем, че ∟К=∟Н. И така, да кажем, че MA е ъглополовящата на нашия триъгълник KMN. Триъгълникът MCA, като се вземе предвид първият знак за равенство, е равен на триъгълника MCA. А именно, по условие е дадено, че KM=NM, MA е обща страна, ∟1=∟2, тъй като MA е ъглополовяща. Използвайки факта, че тези два триъгълника са равни, можем да кажем, че ∟K=∟Н. Значи теоремата е доказана.
Но нас ни интересува каква е сумата от ъглите на триъгълник (равнобедрен). Тъй като в това отношение той няма свои особености, ще започнем от теоремата, разгледана по-рано. Тоест, можем да кажем, че ∟K + ∟M + ∟H=180°, или 2 x ∟K + ∟M=180° (тъй като ∟K=∟H). Няма да доказваме това свойство, тъй като самата теорема за сумата на триъгълника беше доказана по-рано.
Освен както е обсъденосвойства за ъглите на триъгълник, има и такива важни твърдения:
- в равнобедрен триъгълник височината, която е спусната до основата, е едновременно медианата, ъглополовящата на ъгъла, който е между равни страни, както и оста на симетрия на неговата основа;
- медианите (пополняващи, височини), които са начертани от страните на такава геометрична фигура, са равни.
Равностранен триъгълник
Нарича се още десен, това е триъгълникът с равни страни. Следователно ъглите също са равни. Всеки от тях е 60 градуса. Нека докажем това свойство.
Да приемем, че имаме триъгълник KMN. Знаем, че KM=NM=KN. А това означава, че според свойството на ъглите, разположени в основата в равнобедрен триъгълник, ∟К=∟М=∟Н. Тъй като според теоремата сумата от ъглите на триъгълника е ∟К + ∟М + ∟Н=180°, то 3 x ∟К=180° или ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. Така твърдението е доказано.
Както можете да видите от горното доказателство, базирано на теоремата, сумата от ъглите на равностранен триъгълник, подобно на сумата от ъглите на всеки друг триъгълник, е 180 градуса. Няма нужда да доказвате тази теорема отново.
Има и такива свойства, характерни за равностранен триъгълник:
- медиана, ъглополовяща, височина в такава геометрична фигура са еднакви и тяхната дължина се изчислява като (a x √3): 2;
- ако опишете кръг около даден многоъгълник, тогава неговият радиус ще бъдеравно (a x √3): 3;
- ако впишете кръг в равностранен триъгълник, тогава неговият радиус ще бъде (a x √3): 6;
- площта на тази геометрична фигура се изчислява по формулата: (a2 x √3): 4.
Триъгълник с ъгъл под ъгъл
Според определението за тъп триъгълник, един от ъглите му е между 90 и 180 градуса. Но като се има предвид, че другите два ъгъла на тази геометрична фигура са остри, можем да заключим, че те не надвишават 90 градуса. Следователно, теоремата за сумата на ъглите на триъгълника работи при изчисляване на сумата от ъгли в тъп триъгълник. Оказва се, че можем спокойно да кажем, въз основа на гореспоменатата теорема, че сумата от ъглите на тъп триъгълник е 180 градуса. Отново, тази теорема не е необходимо да се доказва повторно.
