Полиедрите привличат вниманието на математици и учени дори в древни времена. Египтяните са построили пирамидите. А гърците са изучавали "правилни многогранници". Понякога се наричат платонови тела. "Традиционните полиедри" се състоят от плоски лица, прави ръбове и върхове. Но основният въпрос винаги е бил на какви правила трябва да отговарят тези отделни части, както и какви допълнителни глобални условия трябва да бъдат изпълнени, за да може даден обект да се квалифицира като полиедър. Отговорът на този въпрос ще бъде представен в статията.
Проблеми в дефиницията
От какво се състои тази цифра? Полиедърът е затворена твърда форма, която има плоски лица и прави ръбове. Следователно първият проблем на неговото дефиниране може да се нарече точно страните на фигурата. Не всички лица, лежащи в равнини, винаги са знак за полиедър. Да вземем за пример "триъгълния цилиндър". В какво се състои тя? Част от повърхността му три по двойкипресичащите се вертикални равнини не могат да се считат за многоъгълници. Причината е, че няма върхове. Повърхността на такава фигура се формира на базата на три лъча, които се срещат в една точка.
Още един проблем - самолети. В случая на "триъгълния цилиндър" той лежи в неограничените им части. Фигура се счита за изпъкнала, ако отсечката, свързваща всякакви две точки от множеството, също е в нея. Нека представим едно от важните им свойства. За изпъкналите множества наборът от точки, общи за множеството, е един и същ. Има и друг вид фигури. Това са неизпъкнали 2D полиедри, които имат прорези или дупки.
Форми, които не са полиедри
Плоският набор от точки може да бъде различен (например, неизпъкнал) и да не отговаря на обичайната дефиниция за полиедър. Дори през него той е ограничен от участъци от линии. Линиите на изпъкнал полиедър се състоят от изпъкнали фигури. Този подход към дефиницията обаче изключва фигура, отиваща до безкрайност. Пример за това биха били три лъча, които не се срещат в една и съща точка. Но в същото време те са свързани с върховете на друга фигура. Традиционно е важно за полиедъра да се състои от плоски повърхности. Но с течение на времето концепцията се разшири, което доведе до значително подобрение в разбирането на оригиналния „по-тесен“клас полиедри, както и до появата на нова, по-широка дефиниция..
Правилно
Нека въведем още една дефиниция. Правилен полиедър е този, в който всяко лице е конгруентен правиленизпъкнали многоъгълници и всички върхове са "едни и същи". Това означава, че всеки връх има еднакъв брой правилни многоъгълници. Използвайте това определение. Така че можете да намерите пет правилни многогранника.
Първи стъпки към теоремата на Ойлер за полиедри
Гърците са знаели за многоъгълника, който днес се нарича пентаграм. Този многоъгълник може да се нарече правилен, защото всичките му страни са с еднаква дължина. Има и друга важна забележка. Ъгълът между две последователни страни винаги е един и същ. Въпреки това, когато е начертан в равнина, той не дефинира изпъкнало множество и страните на полиедъра се пресичат. Това обаче не винаги е било така. Математиците отдавна са обмисляли идеята за "не-изпъкнали" правилни полиедри. Пентаграмът беше един от тях. Разрешени бяха и „звездни многоъгълници“. Открити са няколко нови примера за "правилни многогранници". Сега те се наричат полиедри на Кеплер-Поансо. По-късно G. S. M. Coxeter и Branko Grünbaum разшириха правилата и откриха други „правилни полиедри“.
Полиедрична формула
Систематичното изследване на тези цифри започва сравнително рано в историята на математиката. Леонхард Ойлер е първият, който забелязва, че формула, свързваща броя на техните върхове, лица и ръбове, е валидна за изпъкнали 3D полиедри.
Тя изглежда така:
V + F - E=2, където V е броят на полиедралните върхове, F е броят на ръбовете на полиедрите, а E е броят на лицата.
Леонхард Ойлер е швейцарецматематик, който се смята за един от най-великите и продуктивни учени на всички времена. Той е бил сляп през по-голямата част от живота си, но загубата на зрението му даде причина да стане още по-продуктивен. Има няколко формули, наречени на негово име, а тази, която току-що разгледахме, понякога се нарича формула на полиедрите на Ойлер.
Има едно уточнение. Формулата на Ойлер обаче работи само за полиедри, които следват определени правила. Те се крият във факта, че формата не трябва да има дупки. И е недопустимо да се прекръсти. Полиедърът също не може да бъде съставен от две части, свързани заедно, като два куба с един и същи връх. Ойлер споменава резултата от своето изследване в писмо до Кристиан Голдбах през 1750 г. По-късно той публикува две статии, в които описва как се опитва да намери доказателство за новото си откритие. Всъщност има форми, които дават различен отговор на V + F - E. Отговорът на сбора F + V - E=X се нарича характеристика на Ойлер. Тя има и друг аспект. Някои форми може дори да имат характеристика на Ойлер, която е отрицателна
Теория на графиките
Понякога се твърди, че Декарт е извел теоремата на Ойлер по-рано. Въпреки че този учен открива факти за триизмерните полиедри, които биха му позволили да изведе желаната формула, той не предприе тази допълнителна стъпка. Днес на Ойлер се приписва "бащата" на теорията на графите. Той решава проблема с моста Кьонигсберг, използвайки своите идеи. Но ученият не е разгледал полиедъра в контексттеория на графите. Ойлер се опита да даде доказателство за формула, базирана на разлагането на полиедър на по-прости части. Този опит не отговаря на съвременните стандарти за доказване. Въпреки че Ойлер не даде първото правилно обосноваване на своята формула, не може да се докажат предположения, които не са били направени. Обаче резултатите, които бяха обосновани по-късно, позволяват да се използва теоремата на Ойлер и в момента. Първото доказателство е получено от математика Адриан Мари Лежандре.
Доказателство за формулата на Ойлер
Ойлер за първи път формулира полиедралната формула като теорема за полиедрите. Днес често се третира в по-общия контекст на свързаните графи. Например, като структури, състоящи се от точки и свързващи ги отсечки, които са в една и съща част. Огюстин Луи Коши е първият човек, който открива тази важна връзка. Той служи като доказателство на теоремата на Ойлер. Той, по същество, забеляза, че графиката на изпъкнал полиедър (или това, което днес се нарича такъв) е топологично хомеоморфно на сфера, има равнинен свързан граф. Какво е? Равнинният граф е граф, който е начертан в равнината по такъв начин, че ръбовете му се срещат или пресичат само във връх. Тук е открита връзката между теоремата на Ойлер и графиките.
Една индикация за важността на резултата е, че Дейвид Епщайн е успял да събере седемнадесет различни доказателства. Има много начини да се обоснове полиедралната формула на Ойлер. В известен смисъл най-очевидните доказателства са методи, които използват математическа индукция. Резултатът може да бъде доказанначертавайки го по броя на ръбовете, лицата или върховете на графиката.
Доказателство за Радемахер и Тьоплиц
Особено атрактивно е следното доказателство на Радемахер и Тоеплиц, базирано на подхода на фон Щауд. За да оправдаем теоремата на Ойлер, да предположим, че G е свързан граф, вграден в равнина. Ако има схеми, е възможно да се изключи по един ръб от всяка от тях по такъв начин, че да се запази свойството, че остава свързан. Има съответствие едно към едно между премахнатите части за преминаване към свързан граф без затваряне и тези, които не са безкраен ръб. Това изследване доведе до класификацията на "ориентируемите повърхности" по отношение на така наречената характеристика на Ойлер.
Йорданска крива. Теорема №
Основната теза, която пряко или косвено се използва при доказването на формулата на полиедрите на теоремата на Ойлер за графики, зависи от кривата на Йордан. Тази идея е свързана с обобщаването. Той казва, че всяка проста затворена крива разделя равнината на три групи: точки върху нея, вътре и извън нея. Тъй като интересът към полиедралната формула на Ойлер се развива през деветнадесети век, бяха направени много опити да се обобщи. Това изследване постави основата за развитието на алгебричната топология и я свърза с алгебрата и теорията на числата.
група на Мобиус
Скоро беше открито, че някои повърхности могат да бъдат "ориентирани" само локално, а не глобално по последователен начин. Като илюстрация за това служи добре познатата група на Мьобиусповърхности. Открит е малко по-рано от Йохан Листинг. Това понятие включва понятието за рода на графа: най-малкият брой дескриптори g. Той трябва да бъде добавен към повърхността на сферата и може да бъде вграден върху разширената повърхност по такъв начин, че ръбовете да се срещат само във върховете. Оказва се, че всяка ориентираема повърхност в евклидовото пространство може да се разглежда като сфера с определен брой дръжки.
диаграма на Ойлер
Ученият направи още едно откритие, което се използва и до днес. Тази така наречена диаграма на Ойлер е графично представяне на кръгове, обикновено се използва за илюстриране на връзки между множества или групи. Диаграмите обикновено включват цветове, които се смесват в области, където кръговете се припокриват. Комплектите са представени точно с кръгове или овали, въпреки че за тях могат да се използват и други фигури. Включването е представено от припокриване на елипси, наречени кръгове на Ойлер.
Те представляват множества и подмножества. Изключението са кръговете, които не се припокриват. Диаграмите на Ойлер са тясно свързани с други графични изображения. Често са объркани. Това графично представяне се нарича диаграми на Вен. В зависимост от въпросните комплекти и двете версии може да изглеждат еднакво. Въпреки това, в диаграмите на Вен припокриващите се кръгове не означават непременно общото между множествата, а само възможна логическа връзка, ако техните етикети не са впресичащ се кръг. И двата варианта бяха приети за преподаване на теория на множествата като част от новото математическо движение от 60-те години.
Теореми на Ферма и Ойлер
Ойлер остави забележима следа в математическата наука. Алгебричната теория на числата е обогатена с теорема, наречена на негово име. Това е и следствие от друго важно откритие. Това е така наречената обща алгебрична теорема на Лагранж. Името на Ойлер се свързва и с малката теорема на Ферма. Той казва, че ако p е просто число и a е цяло число, което не се дели на p, тогава:
ap-1 - 1 се дели на p.
Понякога едно и също откритие има различно име, най-често срещано в чуждата литература. Звучи като коледна теорема на Ферма. Работата е там, че откритието стана известно благодарение на писмо от учен, изпратено в навечерието на 25 декември 1640 г. Но самото твърдение се е срещало и преди. Използван е от друг учен на име Алберт Жирар. Ферма само се опита да докаже своята теория. Авторът намеква в друго писмо, че е бил вдъхновен от метода на безкрайното спускане. Но той не представи никакви доказателства. По-късно Айдер също се обърна към същия метод. И след него - много други известни учени, включително Лагранж, Гаус и Минкоски.
Характеристики на самоличността
Малката теорема на Ферма се нарича още специален случай на теорема от теорията на числата поради Ойлер. В тази теория функцията за идентичност на Ойлер брои положителни цели числа до дадено цяло число n. Те са взаимно прости по отношение нан. Теоремата на Ойлер в теорията на числата е написана с гръцката буква φ и изглежда като φ(n). По-формално може да се дефинира като броят на цели числа k в диапазона 1 ≦ k ≦ n, за които най-големият общ делител gcd(n, k) е 1. Означението φ(n) може да се нарече също phi функция на Ойлер. Цели числа k от тази форма понякога се наричат тотални. В основата на теорията на числата функцията за идентичност на Ойлер е мултипликативна, което означава, че ако две числа m и n са взаимно прости, тогава φ(mn)=φ(m)φ(n). Той също така играе ключова роля при дефинирането на RSA системата за криптиране.
Функцията на Ойлер е въведена през 1763 г. Въпреки това, по това време математикът не е избрал конкретен символ за нея. В публикация от 1784 г. Ойлер изследва тази функция по-подробно и избра гръцката буква π, за да я представи. Джеймс Силвестър измисли термина "общо" за тази характеристика. Следователно, тя се нарича още общата сума на Ойлер. Общият φ(n) на положително цяло число n, по-голямо от 1, е броят на положителните числа, по-малки от n, които са относително прости до n. φ(1) се дефинира като 1. Функцията на Ойлер или функцията phi(φ) е много важна теория на числата функция, дълбоко свързана с простите числа и така наречения ред на цели числа.
