Полиедрите не само заемат видно място в геометрията, но се срещат и в ежедневието на всеки човек. Да не говорим за изкуствено създадени предмети за бита под формата на различни многоъгълници, като се започне от кибритена кутия и завършва с архитектурни елементи, кристали под формата на куб (сол), призма (кристал), пирамида (шеелит), октаедър (диамант), и др. e.
Концепцията за полиедър, видове полиедри в геометрията
Геометрията като наука съдържа раздел от стереометрия, който изучава характеристиките и свойствата на триизмерните фигури. Геометричните тела, чиито страни в триизмерното пространство са образувани от ограничени равнини (лица), се наричат "многогранници". Видовете полиедри включват повече от дузина представители, които се различават по броя и формата на лицата.
Всички полиедри обаче имат общи свойства:
- Всички те имат 3 основни компонента: лице(повърхност на многоъгълник), връх (ъгли, образувани при кръстовището на лица), ръб (страна на фигура или сегмент, образуван при кръстовището на две лица).
- Всеки ръб на многоъгълник свързва две и само две лица, които са съседни едно на друго.
- Изпъкналост означава, че тялото е напълно разположено само от едната страна на равнината, върху която лежи едно от лицата. Правилото важи за всички лица на полиедъра. Такива геометрични фигури в стереометрията се наричат изпъкнали полиедри. Изключение правят звездовидни полиедри, които са производни на правилни полиедрични геометрични тела.
Полиедрите могат условно да бъдат разделени на:
- Видове изпъкнали полиедри, състоящи се от следните класове: обикновени или класически (призма, пирамида, паралелепипед), правилни (наричани още Платонови тела), полуправилни (второ име - Архимедови тела).
- Неизпъкнали полиедри (с форма на звезда).
Prism и нейните свойства
Стереометрията като клон на геометрията изучава свойствата на триизмерните фигури, видовете полиедри (призмата е една от тях). Призмата е геометрично тяло, което задължително има две абсолютно идентични лица (те също така се наричат бази), лежащи в успоредни равнини, и n-тия брой странични лица под формата на успоредни. От своя страна призмата също има няколко разновидности, включително такива видове полиедри като:
- паралелепипед - образува се, ако основата е успоредник -многоъгълник с 2 двойки равни противоположни ъгли и 2 двойки равни противоположни страни.
- Правата призма има ръбове, перпендикулярни на основата.
- Наклонената призма се характеризира с наличието на неправи ъгли (различни от 90) между лицата и основата.
- Правилната призма се характеризира с основи под формата на правилен многоъгълник с равни странични лица.
Основни свойства на призма:
- Сравнителни основи.
- Всички ръбове на призмата са равни и успоредни един на друг.
- Всички странични лица са с форма на успоредник.
Пирамида
Пирамидата е геометрично тяло, което се състои от една основа и n-ти брой триъгълни лица, свързани в една точка - върха. Трябва да се отбележи, че ако страничните повърхности на пирамидата задължително са представени от триъгълници, тогава основата може да бъде или триъгълен многоъгълник, или четириъгълник, или петоъгълник и така нататък до безкрай. В този случай името на пирамидата ще съответства на многоъгълника в основата. Например, ако триъгълник лежи в основата на пирамида, това е триъгълна пирамида, четириъгълник е четириъгълен и т.н.
Пирамидите са конусообразни полиедри. Типовете полиедри от тази група, в допълнение към изброените по-горе, включват и следните представители:
- Правилна пирамида има правилен многоъгълник в основата си и височината й е проектирана към центъраокръжност, вписана в основата или описана около нея.
- Правоъгълна пирамида се образува, когато един от страничните ръбове се пресича с основата под прав ъгъл. В този случай също е справедливо този ръб да се нарече височината на пирамидата.
Свойства на пирамидата:
- Ако всички странични ръбове на пирамидата са равни (с еднаква височина), тогава всички те се пресичат с основата под същия ъгъл и около основата можете да начертаете кръг с център, съвпадащ с проекцията на върха на пирамидата.
- Ако основата на пирамидата е правилен многоъгълник, тогава всички странични ръбове са равни, а лицата са равнобедрени триъгълници.
Правилен полиедър: видове и свойства на полиедри
В стереометрията специално място заемат геометрични тела с абсолютно равни лица, в върховете на които са свързани еднакъв брой ръбове. Тези твърди тела се наричат платонови тела или правилни полиедри. Типовете полиедри с такива свойства имат само пет форми:
- Тетраедър.
- Хексахедър.
- Октаедър.
- Додекаедър.
- Икосаедър.
Правилните полиедри дължат името си на древногръцкия философ Платон, който описва тези геометрични тела в своите писания и ги свързва с природните елементи: земя, вода, огън, въздух. Петата фигура е удостоена със сходството със структурата на Вселената. Според него атомите на природните елементи по форма наподобяват типовете правилни полиедри. Поради най-вълнуващото си свойство -симетрия, тези геометрични тела представляват голям интерес не само за древните математици и философи, но и за архитекти, художници и скулптори на всички времена. Наличието на само 5 вида полиедри с абсолютна симетрия се смяташе за фундаментално откритие, дори им беше присъдена връзка с божествения принцип.
Хексахедър и неговите свойства
Под формата на шестоъгълник наследниците на Платон приемат сходство със структурата на земните атоми. Разбира се, в момента тази хипотеза е напълно опровергана, което обаче не пречи на фигурите да привличат умовете на известни личности със своята естетика в съвремието.
В геометрията хексаедърът, известен също като куб, се счита за специален случай на паралелепипед, който от своя страна е вид призма. Съответно свойствата на куба са свързани със свойствата на призмата, с единствената разлика, че всички лица и ъгли на куба са равни помежду си. Следните свойства следват от това:
- Всички ръбове на куба са равни и лежат в успоредни равнини един спрямо друг.
- Всички лица са равни квадрати (има общо 6 в един куб), всяко от които може да се вземе за основа.
- Всички ъгли на интерфейса са 90.
- От всеки връх излиза равен брой ръбове, а именно 3.
- Кубът има 9 оси на симетрия, всички които се пресичат в пресечната точка на диагоналите на хексаедъра, наречен център на симетрия.
Тетраедър
Тетраедърът е тетраедър с равни лица под формата на триъгълници, всеки от върховете на коитое точката на свързване на три лица.
Свойства на правилния тетраедър:
- Всички лица на тетраедър са равностранни триъгълници, което означава, че всички лица на тетраедър са равни.
- Тъй като основата е представена от правилна геометрична фигура, тоест има равни страни, лицата на тетраедъра се събират под същия ъгъл, тоест всички ъгли са равни.
- Сборът от плоските ъгли на всеки от върховете е 180, тъй като всички ъгли са равни, тогава всеки ъгъл на правилния тетраедър е 60.
- Всеки от върховете се проектира до пресечната точка на височините на противоположната (ортоцентърна) страна.
Октаедърът и неговите свойства
Описвайки видовете правилни полиедри, не може да не се отбележи такъв обект като октаедър, който може да бъде визуално представен като две четириъгълни правилни пирамиди, залепени заедно с основи.
Свойства на октаедра:
- Самото име на геометрично тяло предполага броя на неговите лица. Октаедърът се състои от 8 равни равностранни триъгълника, във всеки от върховете на които се събират равен брой лица, а именно 4.
- Тъй като всички лица на октаедъра са равни, ъглите на интерфейса му също са равни, всеки от които е равен на 60 и сумата от равнинните ъгли на всеки от върховете е 240.
Додекаедър
Ако си представим, че всички лица на геометрично тяло са правилен петоъгълник, тогава получаваме додекаедър -фигура от 12 многоъгълника.
Свойства на додекаедъра:
- Три лица се пресичат във всеки връх.
- Всички лица са равни и имат еднаква дължина на ръба и еднаква площ.
- Додекаедърът има 15 оси и равнини на симетрия и всяка от тях минава през върха на лицето и средата на противоположния ръб.
Икосаедър
Не по-малко интересна от додекаедъра, фигурата на икосаедъра е триизмерно геометрично тяло с 20 равни лица. Сред свойствата на обикновен двадесет хедър може да се отбележи следното:
- Всички лица на икосаедъра са равнобедрени триъгълници.
- Пет лица се събират във всеки връх на полиедъра и сумата от съседните ъгли на върха е 300.
- Икосаедърът, подобно на додекаедъра, има 15 оси и равнини на симетрия, минаващи през средните точки на противоположни лица.
Полуправилни многоъгълници
Освен платонови тела, групата на изпъкналите полиедри включва също архимедови тела, които са пресечени правилни многогранници. Типовете полиедри от тази група имат следните свойства:
- Геометричните тела имат по двойки равни лица от няколко вида, например пресечен тетраедър има 8 лица, като обикновен тетраедър, но в случай на архимедово твърдо тяло, 4 лица ще бъдат триъгълни, а 4 ще бъдат шестоъгълни.
- Всички ъгли на един връх са равни.
звездни полиедри
Представителите на необемни типове геометрични тела са звездовидни полиедри, чиито лица се пресичат. Те могат да бъдат образувани чрез сливане на две обикновени 3D плътни тела или чрез разширяване на лицата им.
Така такива звездовидни полиедри са известни като: звездовидни форми на октаедър, додекаедър, икосаедър, кубоктаедър, икосододекаедър.
