Геометрията е красива, защото, за разлика от алгебрата, където не винаги е ясно какво мислите и защо, тя дава видимост на обекта. Този прекрасен свят от различни тела е украсен с правилни полиедри.
Обща информация за правилните полиедри
Според много, правилните полиедри, или както ги наричат още Платонови тела, имат уникални свойства. Няколко научни хипотези са свързани с тези обекти. Когато започнете да изучавате тези геометрични тела, разбирате, че на практика не знаете нищо за такова понятие като правилните многогранници. Представянето на тези предмети в училище не винаги е интересно, така че мнозина дори не помнят как се наричат. Повечето хора си спомнят само куба. Нито едно от телата в геометрията не е толкова перфектно, колкото правилните полиедри. Всички имена на тези геометрични тела произхождат от Древна Гърция. Те означават броя на лицата: тетраедър - четиристранен, хексаедър - шестстранен, октаедър - октаедър, додекаедър - дванадесетстранен, икосаедър - двадесетстранен. Всички тези геометрични телазаема важно място в концепцията на Платон за Вселената. Четири от тях олицетворяват елементите или същностите: тетраедърът - огън, икосаедърът - вода, кубът - земя, октаедърът - въздух. Додекаедърът въплъщаваше всичко съществуващо. Смятан е за основен, защото е символ на Вселената.
Обобщение на концепцията за полиедър
Полиедърът е колекция от краен брой многоъгълници, така че:
- всяка от страните на който и да е от многоъгълниците е едновременно страната на само един друг многоъгълник от същата страна;
- от всеки от полигоните можете да стигнете до другите, като преминете покрай полигоните, съседни на него.
Многоъгълниците, които съставляват полиедър, са неговите лица, а страните им са ръбове. Върховете на многогранниците са върховете на многоъгълниците. Ако концепцията за многоъгълник се разбира като плоски затворени прекъснати линии, тогава се стига до едно определение за полиедър. В случай, че това понятие означава част от равнината, която е ограничена от прекъснати линии, тогава трябва да се разбира повърхност, състояща се от многоъгълни парчета. Изпъкнал полиедър е тяло, лежащо от едната страна на равнина, съседна на лицето му.
Друго определение за полиедър и неговите елементи
Полиедърът е повърхност, състояща се от многоъгълници, която ограничава геометрично тяло. Те са:
- не-изпъкнал;
- изпъкнал (правилен и неправилен).
Регулярният полиедър е изпъкнал многогранник с максимална симетрия. Елементи на правилни полиедри:
- тетраедър: 6 ръба, 4 лица, 5 върха;
- хексахедър (куб): 12, 6, 8;
- додекаедър: 30, 12, 20;
- октаедър: 12, 8, 6;
- икозаедър: 30, 20, 12.
Теоремата на Ойлер
Установява връзка между броя на ръбовете, върховете и лицата, които са топологично еквивалентни на сфера. Чрез добавяне на броя на върховете и лицата (B + D) на различни правилни полиедри и сравняването им с броя на ръбовете може да се установи един модел: сумата от броя на лицата и върховете е равна на броя на ръбовете (P), увеличени с 2. Можете да извлечете проста формула:
B + D=R + 2
Тази формула е вярна за всички изпъкнали многогранници.
Основни дефиниции
Концепцията за правилен полиедър не може да бъде описана с едно изречение. Тя е по-смислена и обемна. За да бъде признато едно тяло като такова, то трябва да отговаря на редица дефиниции. И така, геометрично тяло ще бъде правилен полиедър, ако са изпълнени следните условия:
- е изпъкнала;
- същият брой ръбове се събират във всеки от своите върхове;
- всичките му лица са правилни многоъгълници, равни един на друг;
- всичките му двугранни ъгли са равни.
Свойства на правилните многогранници
Има 5 различни типа правилни полиедри:
- Куб (хексахедър) - има плосък ъгъл в горната част е 90°. Има 3-странен ъгъл. Сумата от плоските ъгли в горната част е 270°.
- Тетраедър - плосък ъгъл в горната част - 60°. Има 3-странен ъгъл. Сумата от плоските ъгли в горната част е 180°.
- Октаедър - ъгъл на плосък връх - 60°. Има 4-странен ъгъл. Сборът от плоските ъгли в горната част е 240°.
- Додекаедър - плосък ъгъл при връх 108°. Има 3-странен ъгъл. Сумата от плоските ъгли в горната част е 324°.
- Икосаедър - има плосък ъгъл в горната част - 60°. Има 5-странен ъгъл. Сумата от плоските ъгли в горната част е 300°.
Площ на правилни многогранници
Площта на повърхността на тези геометрични тела (S) се изчислява като площта на правилен многоъгълник, умножена по броя на неговите лица (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Обемът на правилен полиедър
Тази стойност се изчислява чрез умножаване на обема на правилна пирамида, в основата на която има правилен многоъгълник, по броя на лицата, а височината му е радиусът на вписаната сфера (r):
V=1: 3rS
Обеми от правилни многогранници
Като всяко друго геометрично тяло, правилните полиедри имат различни обеми. По-долу са формулите, по които можете да ги изчислите:
- тетраедър: α x 3√2: 12;
- октаедър: α x 3√2: 3;
- икозаедър; α x 3;
- хексахедър (куб): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- додекаедър: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Елементи от правилни многогранници
Хексахедърът и октаедърът са двойни геометрични тела. С други думи, те могат да бъдат получени един от друг, ако центърът на тежестта на лицето на единия се приеме като връх на другия и обратно. Икосаедърът и додекаедърът също са двойни. Само тетраедърът е двоен на себе си. Според метода на Евклид можете да получите додекаедър от хексаедър, като построите "покриви" върху лицата на куб. Върховете на тетраедър ще бъдат всякакви 4 върха на куб, които не са съседни по двойки по ръб. От хексаедъра (куба) можете да получите други правилни полиедри. Въпреки факта, че има безброй правилни многоъгълници, има само 5 правилни многогранника.
Радиус на правилни многоъгълници
Има 3 концентрични сфери, свързани с всяко от тези геометрични тела:
- описан, преминаващ през неговите върхове;
- вписана, докосвайки всяко от лицата му в центъра;
- средна, докосвайки всички ръбове в средата.
Радиусът на описаната сфера се изчислява по следната формула:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Радиусът на вписана сфера се изчислява по формулата:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
където θ е двугранният ъгъл между съседни лица.
Радиусът на средната сфера може да се изчисли по следната формула:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
където h стойност=4, 6, 6, 10 или 10. Съотношението на описания и вписан радиус е симетрично по отношение на p и q. Тоизчислено по формулата:
R/r=tg π/p x tg π/q
Симетрия на полиедри
Симетрията на правилните полиедри предизвиква основния интерес към тези геометрични тела. Под него се разбира такова движение на тялото в пространството, което оставя еднакъв брой върхове, лица и ръбове. С други думи, под ефекта на трансформация на симетрия, ръб, връх, лице или запазва първоначалната си позиция, или се премества в първоначалната позиция на друг ръб, връх или лице.
Елементите на симетрия на правилните полиедри са характерни за всички видове такива геометрични тела. Тук говорим за идентична трансформация, която оставя някоя от точките в първоначалното й положение. Така че, когато завъртите многоъгълна призма, можете да получите няколко симетрии. Всеки от тях може да бъде представен като продукт на отражения. Симетрия, която е продукт на четен брой отражения, се нарича права линия. Ако е продукт на нечетен брой отражения, тогава се нарича обратен. По този начин всички завъртания около права са пряка симетрия. Всяко отражение на полиедър е обратна симетрия.
За да разберем по-добре елементите на симетрия на правилните полиедри, можем да вземем примера с тетраедър. Всяка права линия, която ще минава през един от върховете и центъра на тази геометрична фигура, също ще минава през центъра на противоположното на него лице. Всеки от завоите на 120° и 240° около линията е множествено число.симетрия на тетраедъра. Тъй като има 4 върха и 4 лица, има само осем директни симетрии. Всяка от линиите, минаващи през средата на ръба и центъра на това тяло, минава през средата на противоположния му ръб. Всяко завъртане на 180°, наречено половин оборот, около права линия е симетрия. Тъй като тетраедърът има три двойки ръбове, има още три директни симетрии. Въз основа на гореизложеното можем да заключим, че общият брой на директните симетрии, включително идентичната трансформация, ще достигне дванадесет. Тетраедърът няма други директни симетрии, но има 12 обратни симетрии. Следователно тетраедърът се характеризира с общо 24 симетрии. За по-голяма яснота можете да изградите модел на обикновен тетраедър от картон и да се уверите, че това геометрично тяло наистина има само 24 симетрии.
Додекаедърът и икосаедърът са най-близо до сферата на тялото. Икосаедърът има най-голям брой лица, най-големия двустранен ъгъл и може да бъде най-плътно притиснат към вписана сфера. Додекаедърът има най-малкия ъглов дефект, най-големия плътен ъгъл при върха. Той може да запълни максимално описаната си сфера.
Изтриване на полиедри
Обикновените неопаковани полиедри, които всички сме залепили заедно в детството, имат много понятия. Ако има колекция от многоъгълници, всяка страна на които е идентифицирана само с едната страна на полиедъра, тогава идентификацията на страните трябва да отговаря на две условия:
- от всеки полигон можете да преминете през многоъгълници, които иматидентифицирана страна;
- идентифицираните страни трябва да имат еднаква дължина.
Наборът от многоъгълници, които удовлетворяват тези условия, се нарича развитие на полиедъра. Всяко от тези тела има няколко от тях. Така, например, един куб има 11 от тях.
