Питагорова теорема: квадратът на хипотенузата е равен на сумата от краката на квадрат

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-17 05:17

Всеки ученик знае, че квадратът на хипотенузата винаги е равен на сбора от катетите, всеки от които е на квадрат. Това твърдение се нарича Питагорова теорема. Това е една от най-известните теореми в тригонометрията и математиката като цяло. Разгледайте го по-подробно.

Концепцията за правоъгълен триъгълник

Преди да пристъпим към разглеждането на питагоровата теорема, в която квадратът на хипотенузата е равен на сумата от катетите, които са на квадрат, трябва да разгледаме понятието и свойствата на правоъгълен триъгълник, за който теоремата е валидно.

Триъгълникът е плоска фигура с три ъгъла и три страни. Правоъгълният триъгълник, както подсказва името му, има един прав ъгъл, тоест този ъгъл е 90o.

От общите свойства за всички триъгълници е известно, че сумата на трите ъгъла на тази фигура е 180^o, което означава, че за правоъгълен триъгълник сумата от два ъгъла, които не са прави, е 180^o -90^o=90^o. Последният факт означава, че всеки ъгъл в правоъгълен триъгълник, който не е прав ъгъл, винаги ще бъде по-малък от 90^o.

Страната, която лежи срещу правия ъгъл, се нарича хипотенуза. Другите две страни са краката на триъгълника, те могат да бъдат равни една на друга или да се различават. От тригонометрията е известно, че колкото по-голям е ъгълът, срещу който една страна лежи в триъгълник, толкова по-голяма е дължината на тази страна. Това означава, че в правоъгълен триъгълник хипотенузата (лежи срещу ъгъла 90^o) винаги ще бъде по-голяма от всеки от катетите (лежат срещу ъглите < 90^o).

Математическа нотация на питагоровата теорема

Тази теорема казва, че квадратът на хипотенузата е равен на сбора от катетите, всеки от които предварително е на квадрат. За да напишете тази формулировка математически, разгледайте правоъгълен триъгълник, в който страните a, b и c са съответно двата катета и хипотенузата. В този случай теоремата, която е посочена като квадратът на хипотенузата е равна на сумата от квадратите на катета, може да бъде представена със следната формула: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. От тук могат да се получат други важни за практиката формули: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) и c=√(a}2 ^{+ b}2^).).

Забележете, че в случай на правоъгълен равностранен триъгълник, тоест a=b, формулировката: квадратът на хипотенузата е равен на сумата от катетите, всеки от коитона квадрат, математически записано като: c²=a² + b²=2a ^{2, което предполага равенството: c=a√2.}

Историческа справка

Теоремата на Питагор, която казва, че квадратът на хипотенузата е равен на сбора от катетите, всеки от които е на квадрат, е била известна много преди известният гръцки философ да й обърне внимание. Много папируси от древен Египет, както и глинени плочки на вавилонците, потвърждават, че тези народи са използвали отбелязаното свойство на страните на правоъгълен триъгълник. Например, една от първите египетски пирамиди, пирамидата на Хафрен, чиято конструкция датира от 26 век пр. н. е. (2000 години преди живота на Питагор), е построена въз основа на познаването на съотношението на страните в правоъгълен триъгълник 3x4x5.

Защо тогава теоремата е кръстена на гръцки? Отговорът е прост: Питагор е първият, който доказва математически тази теорема. Оцелелите вавилонски и египетски писания само споменават използването му, но не предоставят никакви математически доказателства.

Смята се, че Питагор е доказал разглежданата теорема, като е използвал свойствата на подобни триъгълници, които е получил чрез начертаване на височина в правоъгълен триъгълник от ъгъл 90o до хипотенузата.

Пример за използване на питагоровата теорема

Разгледайте прост проблем: необходимо е да се определи дължината на наклонено стълбище L, ако е известно, че то има височина H=3метра, а разстоянието от стената, в която се опира стълбата до крака си, е P=2,5 метра.

В този случай H и P са катетите, а L е хипотенузата. Тъй като дължината на хипотенузата е равна на сумата от квадратите на катетите, получаваме: L²=H² + P 2^{, откъдето L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 метра или 3 метра и 90,5 см.}