Може да има много отговори на въпроса какво е квадрат. Всичко зависи от това на кого задавате този въпрос. Музикантът ще каже, че площадът е 4, 8, 16, 32 такта или джаз импровизация. Дете - какво е игра с топка или детско списание. Принтерът ще ви изпрати да проучите типоразмерите, а техникът ще ви изпрати разновидности на метално валцуван профил.
Има много други значения на тази дума, но днес ще зададем въпрос на математик. Така че…
Ще се занимаваме с тази фигура постепенно, от просто към сложно, и ще започнем с историята на квадрата. Как се появи, как беше възприето от хора, учени от различни страни и цивилизации?
История на изследването на квадрата
Древният свят възприема квадрата главно като четирите кардинални точки. Като цяло, въпреки многото четириъгълници, именно квадратът има основното число - четири. за асирийците иПеруански площад - целият свят, тоест представлява четирите основни посоки, кардинални точки.
Дори Вселената беше представена като квадрат, също разделен на четири части - това е визията на жителите на Северна Америка. За келтите Вселената представлява цели три квадрата, вложени един в друг, а от центъра текат четири (!) Реки. И египтяните като цяло обожествяват тази фигура!
За първи път гърците описват квадрата с помощта на математически формули. Но за тях този многоъгълник имаше само отрицателни характеристики. Питагор изобщо не харесваше четните числа, виждайки слабост и женственост в тях.
Дори религиите имат квадрат. В исляма Кааба - пъпът на Земята - има не някаква сферична, а кубична форма.
В Индия основната графема, изобразяваща Земята, или символът на земята, беше кръстосано квадратче. И отново, ние говорим за четирите кардинални точки, четирите региона на земята.
В Китай площадът е мир, хармония и ред. Хаосът е победен чрез изграждане на квадрат Vara. Квадрат, вписан в кръг, е основата на визията за света, символизираща единството и връзката на Космоса и Земята.
Езическа Русия - площад Сварог. Този символ се нарича още звездата на Сварог или звездата на Русия. Той е доста сложен, тъй като е съставен от пресичащи се и затворени линии. Сварог е богът-ковач, най-важният създател, създател и самото небе от гледната точка на руснаците. В този символ има ромб, който отново говори за Земята и нейните четири посоки. И звезда с четири лъча - 4 кардинални точки, 4 лица на Сварог - неговото всезнание. И пресечната точка на лъчите е огнището.
Интересно за квадрата
Най-популярната фраза, която идва на ум за нашия главен герой, е "Черен квадрат".
Картината на Малевич все още е много популярна. Самият автор, след създаването му, дълго време се измъчваше от въпроса какво е това и защо обикновен черен квадрат на бял фон толкова много привлича вниманието към себе си.
Но ако се вгледате внимателно, ще забележите, че равнината на квадрата не е гладка, а в пукнатините на черната боя има много многоцветни нюанси. Очевидно в началото имаше определена композиция, която не хареса на автора и той я затвори от очите ни с тази фигура. Черният квадрат е като нищо - черна дупка, само с магическа квадратна форма. И е известно, че празнотата привлича…
„Вълшебните квадратчета“също са много популярни. Всъщност това е таблица, разбира се, квадрат, изпълнен с числа във всяка колона. Сборът от тези числа е еднакъв във всички редове, колони и диагонали (поотделно). Ако диагоналите са изключени от равенството, тогава квадратът е полумагически.
Албрехт Дюрер през 1514 г. създава картината "Меланхолия I", която изобразява магически квадрат 4x4. В него сумата от числата на всички колони, редове, диагонали и дори вътрешни квадрати е тридесет и четири.
Въз основа на тези таблици се появиха много интересни и популярни пъзели - "Судоку".
Египтяните са първите, които очертават линии на взаимовръзка между числата (дата на раждане) и качествата на характера, способностите и талантите на човек. Питагор взе това знание, преработи го донякъде ипоставени в квадрат. Резултатът е Питагоровият квадрат.
Това вече е отделно направление в нумерологията. От датата на раждане на човек чрез събиране се изчисляват четири основни числа, които се поставят в психоматрицата (квадрат). Така те излагат цялата тайна информация за вашата енергия, здраве, талант, късмет, темперамент и други неща по рафтовете. Средно, според анкети, надеждността е 60% -80%.
Какво е квадрат?
Квадратът е геометрична фигура. Формата на квадрат е четириъгълник, който има равни страни и ъгли. Още по-точно този четириъгълник се нарича правилен.
Квадратът има своите знаци. Това е:
- страни равни по дължина;
- равни ъгли - прави (90 градуса).
Поради тези знаци и характеристики, кръгът може да бъде вписан в квадрат и да бъде описан около него. Описаната окръжност ще докосне всичките си върхове, вписаната окръжност ще докосне средните точки на всичките си страни. Техният център ще съвпадне с центъра на квадрата и ще раздели всичките му диагонали наполовина. Последните от своя страна са равни една на друга и разделят ъглите на квадрата на равни части.
Един диагонал разделя квадрата на два равнобедрени триъгълника, и двата на четири.
По този начин, ако дължината на страната на квадрата е t, дължината на радиуса на описаната окръжност е R, а вписаната окръжност е r, тогава
площта на основата на квадрата или площта на квадрата (S) ще бъде равна на S=t2=2R 2=4r 2;
периметърът на квадрата P трябва да се изчисли по формулата P=4t=4√2R=8r;
радиус дължина на описаната окръжност R=(√2/2)t;
вписан - r=t/2
Площта на основата на квадрат може също да се изчисли, като се знае неговата страна (a) или дължината на диагонала (c), тогава формулите ще изглеждат съответно: S=a 2 иS=1/2c2.
Какво е квадрат, разбрахме. Нека разгледаме по-подробно детайлите, защото квадратната фигура е най-симетричният четириъгълник. Той има пет оси на симетрия, като едната (от четвърти ред) минава през центъра и е перпендикулярна на равнината на самия квадрат, а останалите четири са оси на симетрия от втори ред, две от тях са успоредни на страни и още две минават през диагоналите на квадрата.
Методи за изграждане на квадрат
Въз основа на дефинициите изглежда, че няма нищо по-лесно от изграждането на обикновен квадрат. Това е вярно, но при условие, че разполагате с всички измервателни инструменти. Ами ако нещо не е на склад?
Нека разгледаме съществуващите начини да ни помогнат да изградим тази форма.
Измервателната линийка и квадратът са основните инструменти, с които можете най-лесно да начертаете квадрат.
Първо маркирайте точка, да кажем A, от нея ще изградим основата на квадрата.
С помощта на линийка задайте разстояние от нея вдясно, равно на дължината на страната, да кажем 30 мм, и поставете точка B.
Сега от двете точки, използвайки квадрат, начертайте перпендикуляри от 30 mm всеки. В краищата на перпендикулярите поставяме точки C и D, които свързваме помежду си с помощта налинийка - това е, квадратът ABCD със страна 30 мм е готов!
Доста лесно е да направите квадрат с линийка и транспортир. Започнете, както в предишния случай, от точка, да речем H, отделете хоризонтален сегмент от нея, например 50 мм. Точка O.
Сега свържете центъра на транспортира с точка H, поставете знак при стойността на ъгъла 900, изградете вертикален сегмент от 50 mm през него и точка H, поставете точка P в края й. След това по подобен начин построете трети сегмент от точка O през ъгъл от 900 равен на 50 mm, нека завършва с точка P. Свържете точките P и P Имате квадрат от NORP с дължина на страната 50 mm.
Можете да построите квадрат, като използвате само пергел и линейка. Ако размерът на квадрата е важен за вас и дължината на страната е известна, тогава ще ви трябва и калкулатор.
И така, сложете първата точка E - тя ще бъде от върховете на квадрата. След това посочете мястото, където ще се намира противоположният връх W, тоест застанете диагонала HJ на вашата фигура. Ако изграждате квадрат по размер, след това като имате дължината на страната, изчислете дължината на диагонала по формулата:
d=√2a, където a е дължината на страната.
След като знаете дължината на диагонала, построете сегмент от …Ж на тази стойност. От точка E, използвайки компас в посока на точка F, начертайте полукръг с радиус EJ. И обратно, от точка F - полукръг към точка E, с радиус СЪЩИЯ. Чрез пресечните точки на тези полукръгове, като използвате линийка, изградете сегмент от ZI. Таралеж и ZI се пресичат под прав ъгъл и са диагоналите на бъдещия квадрат. Чрез свързване на точките EI, IZH, ZHZ и ZEизползвайки линийка, ще получите вписан квадрат на EIHZ.
Все още е възможно да се изгради квадрат с една линийка. Какво е квадрат? Това е участък от равнината, ограничен от пресичащи се сегменти (прави, лъчи). Следователно можем да построим квадрат от координатите на неговите върхове. Първо начертайте координатните оси. Страните на квадрата могат да лежат върху тях или центърът на пресечната точка на диагоналите ще съвпадне с точката на произход - зависи от вашето желание или условията на проблема. Може би фигурата ви ще бъде на известно разстояние от осите. Във всеки случай първо маркирайте две точки с числови стойности (произволно или условно), след което ще знаете дължината на страната на квадрата. Сега можете да изчислите координатите на останалите два върха, като помните, че страните на квадрата са равни и са по двойки успоредни една на друга. Последната стъпка е да свържете всички точки последователно една с друга с помощта на линийка.
Какво са квадратите?
Квадратът е фигура, която е ясно дефинирана и строго ограничена от нейните дефиниции, така че видовете квадрати не се различават по разнообразие.
В неевклидовата геометрия квадратът се възприема по-широко – това е четириъгълник с равни страни и ъгли, но степента на ъглите не е зададена. Това означава, че ъглите могат да бъдат 120 градуса („изпъкнал“квадрат) и, например, 72 градуса („вдлъбнат“квадрат).
Ако попитате геометър или компютърен учен какво е квадрат, те ще ви отговорят, че това е пълна или плоска графика (графики от K1 до K4). И тозиабсолютно справедливо. Графът има върхове и ръбове. Когато образуват подредена двойка, се образува графика. Броят на върховете е редът на графиката, броят на ръбовете е неговият размер. По този начин квадратът е равнинен граф с четири върха и шест ръба, или K4:6.
Квадратна страна
Едно от основните условия за съществуването на квадрат - наличието на равни страни по дължина - прави страната много важна за различни изчисления. Но в същото време дава много начини за изчисляване на дължината на страната на квадрата при наличието на различни входни данни.
И така, как да намерите страната на квадрат?
- Ако знаете само дължината на диагонала на квадрата d, тогава можете да изчислите страната по следната формула: a=d/√2.
- Диаметърът на вписаната окръжност е равен на страната на квадрата и следователно на два радиуса, тоест: a=D=2R.
- Радиусът на описаната окръжност също може да ви помогне да изчислите каква е страната на квадрата. Можем да намерим диаметъра D от радиуса R, който от своя страна е равен на диагонала на квадрата d и вече знаем формулата за страната на квадрата през диагонала: a=D/√2=d/√2=2R/√2.
- От равенството на страните следва, че можете да намерите страната на квадрата (a), като използвате неговия периметър P или площ S: a=√S=P/4.
- Ако знаем дължината на линията, която излиза от ъгъла на квадрата и пресича средата на съседната му страна C, тогава също ще можем да разберем каква е дължината на страната на квадрата квадрат: a=2C/√5.
Има толкова много начини да разберете такъв важен параметър като дължината на страната на квадрат.
Квадратен обем
Самата фраза е абсурдна. Какво е квадрат? Това е плоска фигура, която има само два параметъра - дължина и ширина. А обемът? Това е количествена характеристика на пространството, което заема даден обект, тоест може да се изчисли само за обемни тела.
3D тяло, всички лица на което са квадрати - куб. Въпреки колосалната и фундаментална разлика, учениците доста често се опитват да изчислят обема на квадрат. Ако някой успее, Нобеловата награда е гарантирана.
И за да разберете обема на куба V, достатъчно е да умножите и трите му ръба - a, b, c: V=abc. И тъй като те са равни по дефиниция, формулата може да изглежда различно: V=a3.
Количества, части и спецификации
Квадрат, като всеки многоъгълник, има върхове - това са точките, където страните му се пресичат. Върховете на квадрат лежат върху окръжност, описана около него. Диагонал минава през върха до центъра на квадрата, който също е ъглополовящата и радиусът на описаната окръжност.
Тъй като квадратът е плоска фигура, е невъзможно да се разчлени и построи разрез от квадрат. Но може да бъде резултат от пресичането на много триизмерни тела от равнина. Например цилиндър. Аксиалното сечение на цилиндъра е правоъгълник или квадрат. Дори когато тялото се пресича с равнина под произволен ъгъл, може да се получи квадрат!
Но квадратът има друго отношение към секцията, но не към каквато и да е, а към Златното сечение.
Всички знаем, че златното съотношение е пропорция, в която една стойност е свързана с друга по същия начин катотяхната сума до по-голяма стойност. В обобщени процентни изражения, това изглежда така: първоначалната стойност (сума) се дели на 62 и 38 процента.
Златното сечение е много популярно. Използва се в дизайна, архитектурата, навсякъде, дори в икономиката. Но това далеч не е единствената пропорция, получена от Питагор. Има, например, друг израз "√2". На негова основа се изграждат динамични правоъгълници, които от своя страна са основателите на форматите на групата А (A6, A5, A4 и др.). Защо говорим за динамични правоъгълници? Защото изграждането им започва с квадрат.
Да, първо трябва да построите квадрат. Страната му ще бъде равна на по-малката страна на бъдещия правоъгълник. След това е необходимо да начертаете диагонал на този квадрат и с помощта на компас да отделите дължината на този диагонал върху продължението на страната на квадрата. От точката, получена на пресечната точка, изграждаме правоъгълник, за който отново изграждаме диагонал и отделяме дължината му върху продължението на страната. Ако продължите да работите по тази схема, ще получите същите динамични правоъгълници.
Съотношението на дългата страна на първия правоъгълник към късата страна ще бъде 0,7. Това е почти 0,68 в златното сечение.
Квадратни ъгли
Всъщност вече е трудно да се каже нещо ново за ъглите. Всички имоти, те са знаци на квадрат, ние сме изброили. Що се отнася до ъглите, те са четири (както във всеки четириъгълник), всеки ъгъл в квадрата е прав, тоест има размер от деветдесет градуса. А-приорат,има само правоъгълен квадрат. Ако ъглите са по-големи или по-малки, това е друга форма.
Диагоналите на квадрата разделят ъглите му наполовина, тоест те са ъглополовящи.
Квадратно уравнение
Ако е необходимо да се изчисли стойността на различни количества на квадрат (площ, периметър, дължини на страните или диагонали), използвайте различни уравнения, които са получени от свойствата на квадрата, основните закони и правила на геометрията.
1. Уравнение на квадратна площ
От уравненията за изчисляване на площта на четириъгълниците знаем, че тя (площта) е равна на произведението на дължината и ширината. И тъй като страните на квадрата са еднакви по дължина, тогава неговата площ ще бъде равна на дължината на всяка страна, повдигната на втора степен
S=a2.
Използвайки Питагоровата теорема, можем да изчислим площта на квадрат, като се има предвид дължината на неговия диагонал.
S=d2/2.
2. Уравнение на квадратния периметър
Периметърът на квадрат, както всички четириъгълници, е равен на сумата от дължините на страните му и тъй като всички те са еднакви, можем да кажем, че периметърът на квадрат е равен на дължината на страната, умножена по четири
P=a+a+a+a=4a.
Отново, Питагоровата теорема ще ни помогне да намерим периметъра през диагонала. Трябва да умножите стойността на дължината на диагонала по два корена от две
P=2√2d
3. Квадратно диагонално уравнение
Диагоналите на квадрата са равни, пресичат се под прав ъгъл и разполовяват точката на пресичане.
Можете да ги намерите въз основа на горните уравнения за площта и периметъра на квадрата
d=√2a, d=√2S,d=P/2√2
Има и други начини да разберете каква е дължината на диагонала на квадрат. Радиусът на окръжността, вписана в квадрат, е равен на половината от неговия диагонал, следователно
d=√2D=2√2R, където D е диаметърът, а R е радиусът на вписаната окръжност.
Познавайки радиуса на описаната окръжност, е още по-лесно да се изчисли диагоналът, защото това е диаметър, тоест d=D=2R.
Възможно е също да се изчисли дължината на диагонала, като се знае дължината на линията, простираща се от ъгъла до центъра на страната на квадрата C: d=√8/5C.
Но не забравяйте, че квадратът е разрез от равнина, ограничен от четири пресичащи се прави.
Има достатъчно уравнения за линиите (и образуваните от тях фигури), които не се нуждаят от допълнително описание, но линията е безкрайна. А многоъгълниците са ограничени от пресичането на линиите. За тях можете да използвате линейни уравнения, комбинирани в система, която дефинира прави линии. Но е необходимо да се посочат допълнителни параметри, условия.
За да се дефинират многоъгълници, е необходимо да се състави уравнение, което да описва не права, а отделен произволен сегмент без намесата на допълнителни условия и описания.
[x/xi][xi/x]yi - ето специално уравнение за многоъгълници.
Квадратните скоби в него показват условието за изключване на дробната част от числото, тоест трябва да оставим само цяло число. yi - функция, която ще се изпълнява в диапазона на параметрите от x до xi.
Използвайки това уравнение, можем да изведем новоуравнения за изчисляване на отсечки и линии, състоящи се от няколко сегмента. Той е основен, универсален за многоъгълници.
Не забравяйте, че квадратът е част от равнина, така че неговото описание като y=f(x) може да бъде представено, най-често, само като многозначна функция, която от своя страна може да бъде изразена в термини на функции с една стойност, ако те са представени параметрично, т.е. в зависимост от някакъв параметър t:
x=f(t), y=f(t).
Така че, ако използвате универсалното уравнение и параметричното представяне заедно, всъщност можете да извлечете уравнение за изразяване на многоъгълници:
x=((A2+A3)A5+A4P)Cos(L)
y=((A1+A4)A5+A3P)Sin(L), където
A1=[1/[T/P][T/P]; A2=[2/[T/P][T/P]/2]; A3=[3/[T/P][T/P]/3]; A4=[4/[T/P][T/P]/4]; A5=T-P[T/P], където P е диагоналът на правоъгълника, L е ъгълът на наклон спрямо хоризонталата на диагонала P, T е параметър, вариращ от P до 5P.
Ако L=3, 14/4, тогава уравнението ще описва квадрати с различни размери, в зависимост от размера на диагонала P.
Прилагане на квадрат
В съвременния свят технологията позволява на различни материали да се придаде квадратна форма, по-точно квадратна сечение.
В много отношения е по-изгодно, по-евтино, по-трайно и по-безопасно. И така, сега те правят квадратни тръби, пилоти, тел (жици) и дори квадратни нишки.
Основните предимства са очевидни, те идват от елементарната геометрия. При същия размер площта на вписаната окръжност е по-малка от площта на квадрата, в който е вписан, следователно,пропускателната способност на квадратна тръба или енергийното съдържание на квадратна жица ще бъде по-висока от тази на кръглата тръба.
Консумативите с квадратно сечение често са по-естетически приятни и удобни за използване, монтиране, монтиране.
При избора на тези материали е важно правилно да се изчисли напречното сечение на квадрата, така че телта или тръбата да издържат на необходимото натоварване. Във всеки отделен случай, разбира се, ще са необходими параметри като сила на тока или налягане, но не може да се направи без основните геометрични правила на квадрата. Въпреки че размерите на квадратните сечения вече не се изчисляват толкова много, колкото се избират според дадените параметри от таблиците, установени от GOST за различни индустрии.
