За да улесните читателя да си представи какво е хиперболоид - триизмерен обект - първо трябва да разгледате извитата хипербола със същото име, която се вписва в двуизмерно пространство.
Хиперболата има две оси: реалната, която на тази фигура съвпада с оста на абсцисата, и въображаемата, с оста y. Ако мислено започнете да обръщате уравнението на хипербола около нейната въображаема ос, тогава повърхността, "виждана" от кривата, ще бъде еднолистов хиперболоид.
Ако обаче започнем да въртим хиперболата около нейната реална ос по този начин, тогава всяка от двете "половини" на кривата ще образува своя отделна повърхност и заедно ще се нарече дву- листен хиперболоид.
Получават се чрез завъртане на съответната равнинна крива, те се наричат съответно хиперболоиди на въртене. Те имат параметри във всички посоки, перпендикулярни на оста на въртене,принадлежащи към завъртяната крива. По принцип това не е така.
Хиперболоидно уравнение
По принцип повърхността може да бъде дефинирана от следните уравнения в декартови координати (x, y, z):
В случай на хиперболоид на въртене, неговата симетрия спрямо оста, около която се върти, се изразява в равенството на коефициентите a=b.
Хиперболоидни характеристики
Той има трик. Знаем, че кривите в равнина имат фокуси - в случая на хипербола, например, модулът на разликата в разстоянията от произволна точка на хипербола до един фокус, а вторият е постоянен по дефиниция, всъщност на фокуса точки.
При преместване в триизмерно пространство дефиницията практически не се променя: фокусите отново са две точки, а разликата в разстоянията от тях до произволна точка, принадлежаща на хиперболоидната повърхност, е постоянна. Както виждате, от промените за всички възможни точки се появи само третата координата, защото сега те са поставени в пространството. Най-общо казано, дефинирането на фокус е еквивалентно на идентифициране на типа крива или повърхност: като говорим за това как точките на повърхността са разположени спрямо фокусите, ние всъщност отговаряме на въпроса какво е хиперболоид и как изглежда.
Заслужава си да припомним, че хиперболата има асимптоти - прави линии, към които нейните клонове клонят към безкрайност. Ако при конструирането на хиперболоид на въртене човек умствено завърти асимптотите заедно с хиперболата, тогава в допълнение към хиперболоида ще получим и конус, наречен асимптотичен. Асимптотичният конус еза еднолистови и двулистови хиперболоиди.
Друга важна характеристика, която притежава само еднолистовият хиперболоид, са праволинейните генератори. Както подсказва името, това са линии и те лежат изцяло върху дадена повърхност. Два праволинейни генератора минават през всяка точка на еднолистов хиперболоид. Те принадлежат съответно към две семейства от линии, които се описват със следните системи от уравнения:
По този начин хиперболоидът с един лист може да бъде изцяло съставен от безкраен брой прави линии от две семейства и всяка линия на едната от тях ще се пресича с всички линии на другата. Повърхностите, съответстващи на такива свойства, се наричат линейки; те могат да бъдат конструирани с помощта на въртене на една права линия. Дефинирането чрез взаимното подреждане на линиите (праволинейни генератори) в пространството може също да служи като недвусмислено обозначение на това какво е хиперболоид.
Интересни свойства на хиперболоид
Кривите от втори ред и съответните им повърхности на въртене имат интересни оптични свойства, свързани с фокусите. В случая на хиперболоид това се формулира по следния начин: ако лъчът бъде изстрелян от един фокус, тогава, след като се отрази от най-близката "стена", той ще поеме такава посока, сякаш идва от втория фокус.
Хиперболоиди в живота
Най-вероятно повечето читатели са започнали запознанството си с аналитичната геометрия и повърхностите от втори ред от научнофантастичен роман на Алексей Толстой"Хиперболоиден инженер Гарин". Самият писател обаче или не е знаел добре какво е хиперболоид, или е пожертвал точността в името на артистичността: описаното изобретение, по отношение на физическите характеристики, е по-скоро параболоид, който събира всички лъчи в един фокус (докато оптичните свойства на хиперболоида са свързани с разсейването на лъчите).
Така наречените хиперболоидни структури са много популярни в архитектурата: това са структури, които имат форма на еднолистов хиперболоид или хиперболичен параболоид. Факт е, че само тези повърхности на въртене от втори ред имат праволинейни генератори: по този начин извита структура може да се изгради само от прави греди. Предимствата на такива конструкции са в способността да издържат на тежки натоварвания, например от вятър: хиперболоидната форма се използва при изграждането на високи конструкции, например телевизионни кули.
