Производната на косинуса се намира по аналогия с производната на синуса, основата на доказателството е дефиницията на границата на функцията. Можете да използвате друг метод, като използвате тригонометричните формули за редукция за косинуса и синуса на ъглите. Изразете една функция чрез друга - косинус по отношение на синус и разграничете синуса със сложен аргумент.
Разгледайте първия пример за извличане на формулата (Cos(x))'
Дайте пренебрежимо малко увеличение Δx на аргумента x на функцията y=Cos(x). С нова стойност на аргумента х+Δх получаваме нова стойност на функцията Cos(х+Δх). Тогава приращението на функцията Δy ще бъде равно на Cos(х+Δx)-Cos(x).
Съотношението на приращението на функцията към Δх ще бъде: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Нека извършим идентични трансформации в числителя на получената дроб. Припомнете си формулата за разликата в косинусите на ъглите, резултатът ще бъде продуктът -2Sin (Δx / 2) по Sin (x + Δx / 2). Намираме границата на частното lim на това произведение на Δx, тъй като Δx клони към нула. Известно е, че първият(нарича се прекрасно) границата lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) е равна на 1, а границата -Sin(x+Δx/2) е равна на -Sin(x) като Δx клони към нула. Запишете резултата: производната на (Cos(x))' е равна на - Sin(x).
Някои хора предпочитат втория начин за извличане на същата формула
От курса на тригонометрията е известно: Cos(x) е равно на Sin(0, 5 ∏-x), по същия начин Sin(x) е равно на Cos(0, 5 ∏-x). Тогава диференцираме сложна функция - синусът на допълнителния ъгъл (вместо косинус x).
Получаваме произведението Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', т.к. производната на синуса x е равна на косинуса X. Обръщаме се към втората формула Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) за замяна на косинус със синус, като вземем предвид, че (0,5 ∏-x)'=-1. Сега получаваме -Sin(x). И така, производната на косинуса е намерена, y'=-Sin(x) за функцията y=Cos(x).
Квадратна косинусова производна
Често използван пример, в който се използва косинусовата производна. Функцията y=Cos2(x) е трудна. Първо намираме диференциала на степенната функция с степен 2, той ще бъде 2·Cos(x), след което го умножаваме по производната (Cos(x))', която е равна на -Sin(x). Получаваме y'=-2 Cos(x) Sin(x). Когато приложим формулата Sin(2x), синусът на двоен ъгъл, получаваме окончателното опростеноanswer y'=-Sin(2x)
Хиперболични функции
Те се използват при изучаването на много технически дисциплини: в математиката, например, улесняват изчисляването на интеграли, решаването на диференциални уравнения. Те се изразяват чрез тригонометрични функции с имагинерниаргумент, така че хиперболичният косинус ch(x)=Cos(i x), където i е въображаемата единица, хиперболичният синус sh(x)=Sin(i x).
Производната на хиперболичния косинус се изчислява съвсем просто.
Разгледайте функцията y=(ex+e-x) /2, това и е хиперболичният косинус ch(x). Използваме правилото за намиране на производната на сбора от два израза, правилото за изваждане на постоянния фактор (Const) от знака на производната. Вторият член 0,5 e-x е сложна функция (нейната производна е -0,5 e-x), 0,5 eх ― първият мандат. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' може да бъде написано по друг начин: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, тъй като производната (e - x)' е равно на -1 пъти e-x. Резултатът е разлика и това е хиперболичният синус sh(x).Изход: (ch(x))'=sh(x).
Нека да разгледаме пример как да изчислете производната на функцията y=ch(x
3+1).Съгласно правилото за диференциране на хиперболичен косинус с комплексен аргумент y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', където (x3+1)'=3 x 2+0. Отговор: производната на тази функция е 3 x
2sh(x3+1).
Таблично производни на разглежданите функции y=ch(x) и y=Cos(x)
При решаване на примери няма нужда да ги разграничавате всеки път според предложената схема, достатъчно е да използвате извода.
Пример. Диференцирайте функцията y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Лесно за изчисляване (използвайте таблични данни), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
