Типичен геометричен проблем е намирането на ъгъла между линиите. На равнина, ако са известни уравненията на правите, те могат да се начертаят и ъгълът да се измери с транспортир. Този метод обаче е трудоемък и не винаги е възможен. За да разберете наименования ъгъл, не е необходимо да чертаете прави линии, може да се изчисли. Тази статия ще отговори как се прави това.
Права линия и нейното векторно уравнение
Всяка права линия може да бъде представена като вектор, който започва от -∞ и завършва в +∞. В този случай векторът преминава през някаква точка от пространството. По този начин всички вектори, които могат да бъдат начертани между всякакви две точки на права линия, ще бъдат успоредни един на друг. Тази дефиниция ви позволява да зададете уравнението на права линия във векторна форма:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Тук векторът с координати (a; b; c) е водачът за тази линия, преминаваща през точката (x0; y0; z0). Параметърът α ви позволява да прехвърлите определената точка към която и да е друга за тази линия. Това уравнение е интуитивно и лесно за работа както в 3D пространство, така и в равнина. За равнина тя няма да съдържа координатите z и третия компонент на вектора на посоката.
Удобството за извършване на изчисления и изучаване на относителното положение на правите линии поради използването на векторно уравнение се дължи на факта, че неговият насочващ вектор е известен. Неговите координати се използват за изчисляване на ъгъла между линиите и разстоянието между тях.
Общо уравнение за права линия в равнина
Нека напишем изрично векторното уравнение на правата линия за двумерния случай. Изглежда така:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Сега изчисляваме параметъра α за всяко равенство и приравняваме правилните части от получените равенства:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Отваряйки скобите и прехвърляйки всички термини от едната страна на равенството, получаваме:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, където A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Полученият израз се нарича общо уравнение за права линия, дадена в двуизмерно пространство (в триизмерно това уравнение съответства на равнина, успоредна на оста z, а не на права линия).
Ако изрично напишем y през x в този израз, тогава получаваме следната форма, известнавсеки ученик:
y=kx + p, където k=-A/B, p=-C/B
Това линейно уравнение уникално дефинира права линия в равнината. Много е лесно да го начертаете според добре познатото уравнение, за това трябва да поставите x=0 и y=0 на свой ред, да маркирате съответните точки в координатната система и да начертаете права линия, свързваща получените точки.
Формула на ъгъла между линиите
В равнина две прави могат или да се пресичат, или да са успоредни една на друга. В пространството към тези опции се добавя възможността за съществуване на коси линии. Каквато и версия на относителното положение на тези едномерни геометрични обекти да е реализирана, ъгълът между тях винаги може да се определи по следната формула:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Където v1¯ и v2¯ са водещите вектори за ред 1 и 2 съответно. Числителят е модулът на точковото произведение, за да се изключат тъпите ъгли и да се вземат предвид само острите.
Векторите v1¯ и v2¯ могат да бъдат дадени с две или три координати, докато формулата за ъгъла φ остава непроменен.
Успоредност и перпендикулярност на правите
Ако ъгълът между 2 линии, изчислен с помощта на формулата по-горе, е 0o, тогава се казва, че са успоредни. За да определите дали линиите са успоредни или не, не можете да изчислите ъгълаφ, достатъчно е да се покаже, че един вектор на посока може да бъде представен чрез подобен вектор на друга линия, тоест:
v1¯=qv2¯
Ето q е някакво реално число.
Ако уравненията на правите са дадени като:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
тогава те ще бъдат успоредни само когато коефициентите на x са равни, тоест:
k1=k2
Този факт може да се докаже, ако разгледаме как коефициентът k се изразява чрез координатите на насочващия вектор на правата линия.
Ако ъгълът на пресичане между линиите е 90o, тогава те се наричат перпендикулярни. За да се определи перпендикулярността на линиите, също не е необходимо да се изчислява ъгълът φ, за това е достатъчно да се изчисли само скаларното произведение на векторите v1¯ и v 2¯. Трябва да е нула.
В случай на пресичащи се прави линии в пространството може да се използва и формулата за ъгъла φ. В този случай резултатът трябва да бъде правилно интерпретиран. Изчисленото φ показва ъгъла между векторите на посоката на линиите, които не се пресичат и не са успоредни.
Задача №1. Перпендикулярни линии
Известно е, че уравненията на правите имат формата:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Необходимо е да се определи дали тези линии саперпендикулярно.
Както е споменато по-горе, за да се отговори на въпроса, е достатъчно да се изчисли скаларното произведение на векторите на водачите, които съответстват на координатите (1; 2) и (-4; 2). Имаме:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Тъй като получихме 0, това означава, че разглежданите линии се пресичат под прав ъгъл, тоест те са перпендикулярни.
Задача №2. Ъгъл на пресичане на линии
Известно е, че две уравнения за прави линии имат следния вид:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Необходимо е да се намери ъгълът между линиите.
Тъй като коефициентите на x имат различни стойности, тези линии не са успоредни. За да намерим ъгъла, който се образува, когато се пресичат, ние превеждаме всяко от уравненията във векторна форма.
За първия ред получаваме:
(x; y)=(x; 2x - 1)
От дясната страна на уравнението имаме вектор, чиито координати зависят от x. Нека го представим като сбор от два вектора, като координатите на първия ще съдържат променливата x, а координатите на втория ще се състоят изключително от числа:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Тъй като x приема произволни стойности, то може да бъде заменено с параметъра α. Векторното уравнение за първия ред става:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Правим същите действия с второто уравнение на реда, получаваме:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Пренаписахме оригиналните уравнения във векторна форма. Сега можете да използвате формулата за ъгъла на пресичане, като замените в нея координатите на насочващите вектори на линиите:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
По този начин, разглежданите линии се пресичат под ъгъл от 71,565o, или 1,249 радиана.
Този проблем можеше да бъде решен по различен начин. За да направите това, беше необходимо да вземете две произволни точки от всяка права линия, да съставите директни вектори от тях и след това да използвате формулата за φ.
