Правата линия е основният геометричен обект в равнината и в триизмерното пространство. Именно от прави линии се изграждат много фигури, например: успоредник, триъгълник, призма, пирамида и т.н. Разгледайте в статията различни начини за задаване на уравненията на линиите.
Определение на права линия и видове уравнения за нейното описание
Всеки ученик има добра представа за какъв геометричен обект говори. Една права линия може да бъде представена като колекция от точки и ако свържем всяка от тях на свой ред с всички останали, тогава ще получим набор от успоредни вектори. С други думи, възможно е да се стигне до всяка точка от правата от една от нейните фиксирани точки, като се прехвърли в някакъв единичен вектор, умножен по реално число. Тази дефиниция на права линия се използва за дефиниране на векторно равенство за неговото математическо описание както в равнината, така и в триизмерното пространство.
Правата линия може да бъде математически представена от следните видове уравнения:
- общо;
- вектор;
- параметричен;
- в сегменти;
- симетричен (каноничен).
След това ще разгледаме всички посочени типове и ще покажем как да работим с тях, като използваме примери за решаване на проблеми.
Векторно и параметрично описание на права линия
Нека започнем с дефиниране на права линия през известен вектор. Да предположим, че има фиксирана точка в пространството M(x0; y0; z0). Известно е, че правата линия минава през него и е насочена по векторния сегмент v¯(a; b; c). Как да намерим произволна точка от правата от тези данни? Отговорът на този въпрос ще даде следното равенство:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Където λ е произволно число.
Подобен израз може да бъде написан за двумерния случай, където координатите на векторите и точките са представени с набор от две числа:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Написаните уравнения се наричат векторни уравнения, а самият насочен сегмент v¯ е векторът на посоката за правата линия.
От написаните изрази съответните параметрични уравнения се получават просто, достатъчно е да ги пренапишем изрично. Например, за случая в пространството получаваме следното уравнение:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb;
z=z0+ λc
Удобно е да работите с параметрични уравнения, ако трябва да анализирате поведениетовсяка координата. Обърнете внимание, че въпреки че параметърът λ може да приема произволни стойности, той трябва да е един и същ и в трите равенства.
Общо уравнение
Друг начин за дефиниране на права линия, който често се използва за работа с разглеждания геометричен обект, е използването на общо уравнение. За двуизмерния случай изглежда така:
Ax + By + C=0
Тук главните латински букви представляват конкретни числови стойности. Удобството на това равенство при решаването на задачи се състои във факта, че то изрично съдържа вектор, който е перпендикулярен на права линия. Ако го обозначим с n¯, тогава можем да напишем:
n¯=[A; B
В допълнение, изразът е удобен за използване за определяне на разстоянието от права линия до някаква точка P(x1; y1). Формулата за разстояние d е:
d=|Ax1+ By1+ C| / √(A2+ B2)
Лесно е да се покаже, че ако изрично изразим променливата y от общото уравнение, получаваме следната добре позната форма на писане на права линия:
y=kx + b
където k и b са еднозначно определени от числата A, B, C.
Уравнението в сегменти и канонично
Уравнението в сегменти е най-лесно да се получи от общия изглед. Ще ви покажем как да го направите.
Да предположим, че имаме следния ред:
Ax + By + C=0
Преместете свободния член в дясната страна на равенството, след което разделете цялото уравнение на него, получаваме:
Ax + By=-C;
x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;
x / q + y / p=1, където q=-C / A, p=-C / B
Получихме така нареченото уравнение в сегменти. Получи името си поради факта, че знаменателят, на който е разделена всяка променлива, показва стойността на координатата на пресечната точка на линията със съответната ос. Удобно е да използвате този факт за изобразяване на права линия в координатна система, както и за анализиране на нейното относително положение спрямо други геометрични обекти (прави линии, точки).
Сега да преминем към получаването на каноничното уравнение. Това е по-лесно да се направи, ако разгледаме параметричната опция. За случая в самолета имаме:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Изразяваме параметъра λ във всяко равенство, след което ги приравняваме, получаваме:
λ=(x - x0) / a;
λ=(y - y0) / b;
(x - x0) / a=(y - y0) / b
Това е желаното уравнение, написано в симетрична форма. Точно като векторен израз, той съдържа изрично координатите на вектора на посоката и координатите на една от точките, които принадлежат на правата.
Може да се види, че в този параграф сме дали уравнения за двумерния случай. По същия начин можете да напишете уравнението на права линия в пространството. Тук трябва да се отбележи, че ако каноничната формазаписите и изразите в сегменти ще имат една и съща форма, тогава общото уравнение в пространството за права линия се представя от система от две уравнения за пресичащи се равнини.
Проблемът за конструиране на уравнението на права линия
От геометрията всеки ученик знае, че през две точки можете да начертаете една права. Да приемем, че следните точки са дадени в координатната равнина:
M1(1; 2);
M2(-1; 3)
Необходимо е да се намери уравнението на правата, на която принадлежат и двете точки, на сегменти, във векторна, канонична и обща форма.
Нека първо вземем векторното уравнение. За да направите това, дефинирайте за вектора с директна посока M1M2¯:
M1M2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)
Сега можете да създадете векторно уравнение, като вземете една от двете точки, посочени в формулировката на проблема, например M2:
(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)
За да се получи каноничното уравнение, е достатъчно намереното равенство да се трансформира в параметрична форма и да се изключи параметърът λ. Имаме:
x=-1 - 2λ, следователно λ=x + 1 / (-2);
y=3 + λ, тогава получаваме λ=y - 3;
x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1
Останалите две уравнения (общо и на сегменти) могат да бъдат намерени от каноничното, като го трансформирате, както следва:
x + 1=-2y + 6;
общо уравнение: x + 2y - 5=0;
в сегментно уравнение: x / 5 + y / 2, 5=1
Получените уравнения показват, че векторът (1; 2) трябва да е перпендикулярен на правата. Всъщност, ако намерите скаларния му продукт с вектора на посоката, тогава той ще бъде равен на нула. Уравнението на линейния сегмент казва, че правата пресича оста x при (5; 0) и оста y при (2, 5; 0).
Проблемът за определяне на пресечната точка на линии
Две прави линии са дадени на равнината от следните уравнения:
2x + y -1=0;
(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)
Необходимо е да се определят координатите на точката, където тези линии се пресичат.
Има два начина за решаване на проблема:
- Преобразувайте векторното уравнение в общ вид, след което решете системата от две линейни уравнения.
- Не извършвайте никакви трансформации, а просто заменете координатата на пресечната точка, изразена чрез параметъра λ, в първото уравнение. След това намерете стойността на параметъра.
Нека направим втория начин. Имаме:
x=-λ;
y=-1 + 3λ;
2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;
λ=2
Заместете полученото число във векторното уравнение:
(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)
По този начин единствената точка, която принадлежи и на двете линии, е точката с координати (-2; 5). В него линиите се пресичат.
