Един от често срещаните проблеми в стереометрията са задачите за пресичане на прави линии и равнини и изчисляване на ъглите между тях. Нека разгледаме в тази статия по-подробно така наречения координатен метод и ъглите между правата и равнината.
Линия и равнина в геометрията
Преди да разгледате метода на координатите и ъгъла между права и равнина, трябва да се запознаете с посочените геометрични обекти.
Линията е такава колекция от точки в пространството или в равнина, всяка от които може да бъде получена чрез линейно прехвърляне на предходната към определен вектор. По-нататък ще означаваме този вектор със символа u¯. Ако този вектор се умножи по произволно число, което не е равно на нула, тогава получаваме вектор, успореден на u¯. Линията е линеен безкраен обект.
Равнината също е колекция от точки, които са разположени по такъв начин, че ако съставите произволни вектори от тях, тогава всички те ще бъдат перпендикулярни на някакъв вектор n¯. Последното се нарича нормално или просто нормално. Равнината, за разлика от права линия, е двуизмерен безкраен обект.
Координатен метод за решаване на геометрични задачи
Въз основа на името на самия метод можем да заключим, че говорим за метод за решаване на задачи, който се основава на извършване на аналитични последователни изчисления. С други думи, координатният метод ви позволява да решавате геометрични задачи с помощта на универсални инструменти за алгебра, основните от които са уравнения.
Трябва да се отбележи, че разглежданият метод се появи в зората на съвременната геометрия и алгебра. Голям принос за неговото развитие имат Рене Декарт, Пиер дьо Ферма, Исак Нютон и Лайбниц през 17-18 век.
Същността на метода е да се изчислят разстоянията, ъглите, площите и обемите на геометричните елементи въз основа на координатите на известни точки. Имайте предвид, че формата на получените крайни уравнения зависи от координатната система. Най-често при проблеми се използва правоъгълната декартова система, тъй като с нея е най-удобно да се работи.
Линее уравнение
Разглеждане на метода на координатите и ъглите между правата и равнината, нека започнем със задаване на уравнението на правата. Има няколко начина за представяне на линиите в алгебрична форма. Тук разглеждаме само векторното уравнение, тъй като то може лесно да бъде получено от него под всякаква друга форма и е лесно за работа.
Да приемем, че има две точки: P и Q. Известно е, че през тях може да се начертае права ище бъде единственият. Съответното математическо представяне на елемента изглежда така:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Где PQ¯ е вектор, чиито координати се получават, както следва:
PQ¯=Q - P.
Символът λ обозначава параметър, който може да приеме абсолютно всяко число.
В писмения израз можете да промените посоката на вектора, както и да замените координатите Q вместо точката P. Всички тези трансформации няма да доведат до промяна в геометричното местоположение на линията.
Забележете, че когато решавате проблеми, понякога е необходимо да представите написаното векторно уравнение в изрична (параметрична) форма.
Задаване на самолет в космоса
Както за права линия, има и няколко форми на математически уравнения за равнина. Сред тях отбелязваме вектора, уравнението в сегменти и общата форма. В тази статия ще обърнем специално внимание на последната форма.
Общо уравнение за произволна равнина може да бъде записано, както следва:
Ax + By + Cz + D=0.
Латински главни букви са определени числа, които определят равнина.
Удобството на тази нотация е, че тя изрично съдържа вектор, нормален на равнината. То е равно на:
n¯=(A, B, C).
Познаването на този вектор прави възможно, разглеждайки накратко уравнението на равнината, да си представим местоположението на последната в координатната система.
Взаимно подреждане впространство на линия и равнина
В следващия параграф на статията ще преминем към разглеждането на координатния метод и ъгъла между правата и равнината. Тук ще отговорим на въпроса как разглежданите геометрични елементи могат да бъдат разположени в пространството. Има три начина:
- Правата линия пресича равнината. Използвайки метода на координатите, можете да изчислите в коя единствена точка се пресичат правата и равнината.
- Равнината на права линия е успоредна. В този случай системата от уравнения на геометричните елементи няма решение. За доказване на паралелизъм обикновено се използва свойството на скаларното произведение на насочващия вектор на правата линия и нормалата на равнината.
- Равнината съдържа линия. Решавайки системата от уравнения в този случай, ще стигнем до извода, че за всяка стойност на параметъра λ се получава правилно равенство.
Във втория и третия случай ъгълът между посочените геометрични обекти е равен на нула. В първия случай се намира между 0 и 90o.
Изчисляване на ъгли между прави и равнини
Сега да преминем директно към темата на статията. Всяко пресичане на права и равнина се случва под някакъв ъгъл. Този ъгъл се образува от самата права линия и нейната проекция върху равнината. Проекция може да се получи, ако от която и да е точка на права линия се спусне перпендикуляр върху равнината и след това през получената пресечна точка на равнината и перпендикуляра и точката на пресичане на равнината и оригиналната права се начертае права линия, която ще бъде проекция.
Изчисляването на ъглите между линиите и равнините не е трудна задача. За да го решите, е достатъчно да знаете уравненията на съответните геометрични обекти. Да кажем, че тези уравнения изглеждат така:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Желаният ъгъл лесно се намира, като се използва свойството на произведението на скаларните вектори u¯ и n¯. Крайната формула изглежда така:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Тази формула казва, че синусът на ъгъла между права и равнина е равен на съотношението на модула на скаларното произведение на маркираните вектори към произведението на техните дължини. За да разберем защо се появи синус вместо косинус, нека се обърнем към фигурата по-долу.
Може да се види, че ако приложим функцията косинус, ще получим ъгъла между векторите u¯ и n¯. Желаният ъгъл θ (α на фигурата) се получава, както следва:
θ=90o- β.
Синусът се появява в резултат на прилагане на формулите за намаляване.
Примерен проблем
Да преминем към практическото използване на придобитите знания. Нека решим типична задача за ъгъла между права линия и равнина. Дадени са следните координати на четири точки:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Известно е, че през точки PQMпрез него минава равнина, а през MN минава права линия. Използвайки метода на координатите, трябва да се изчисли ъгълът между равнината и правата.
Първо, нека запишем уравненията на правата и равнината. За права линия е лесно да я съставите:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
За да направим уравнението на равнината, първо намираме нормалата към нея. Координатите му са равни на векторното произведение на два вектора, лежащи в дадената равнина. Имаме:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Сега нека заместим координатите на всяка точка, лежаща в нея в уравнението на общата равнина, за да получим стойността на свободния член D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Равниското уравнение е:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Остава да приложим формулата за ъгъла, образуван в пресечната точка на права линия и равнина, за да получим отговора на задачата. Имаме:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Използвайки този проблем като пример, ние показахме как да използваме координатния метод за решаване на геометрични задачи.
