В геометрията след точка правата линия е може би най-простият елемент. Използва се при конструирането на всякакви сложни фигури в равнината и в триизмерно пространство. В тази статия ще разгледаме общото уравнение на права линия и ще решим няколко задачи, използвайки го. Да започваме!
Права линия в геометрията
Всеки знае, че форми като правоъгълник, триъгълник, призма, куб и така нататък се образуват от пресичащи се прави линии. Правата линия в геометрията е едномерен обект, който може да се получи чрез прехвърляне на определена точка към вектор със същата или противоположна посока. За да разберете по-добре това определение, представете си, че има някаква точка P в пространството. Вземете произволен вектор u¯ в това пространство. Тогава всяка точка Q от правата може да бъде получена в резултат на следните математически операции:
Q=P + λu¯.
Тук λ е произволно число, което може да бъде положително или отрицателно. Ако равенствотонапишете по-горе по отношение на координатите, тогава получаваме следното уравнение на права линия:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Това равенство се нарича уравнение на права линия във векторна форма. И векторът u¯ се нарича водач.
Общо уравнение на права линия в равнина
Всеки ученик може да го запише без никакви затруднения. Но най-често уравнението се записва така:
y=kx + b.
Където k и b са произволни числа. Числото b се нарича свободен член. Параметърът k е равен на тангенса на ъгъла, образуван от пресечната точка на правата линия с оста x.
Уравнението по-горе е изразено по отношение на променливата y. Ако го представим в по-общ вид, тогава получаваме следната нотация:
Ax + By + C=0.
Лесно е да се покаже, че тази форма на запис на общото уравнение на права линия върху равнина лесно се трансформира в предишната форма. За да направите това, лявата и дясната част трябва да бъдат разделени на фактор B и изразени y.
Фигурата по-горе показва права линия, минаваща през две точки.
Линия в 3D пространство
Нека продължим нашето изследване. Разгледахме въпроса как се дава уравнението на права линия в общ вид на равнина. Ако приложим обозначението, дадено в предишния параграф на статията за пространствения случай, какво ще получим? Всичко е просто - вече не права линия, а равнина. Всъщност следният израз описва равнина, която е успоредна на оста z:
Ax + By + C=0.
Ако C=0, тогава такава равнина минавапрез оста z. Това е важна характеристика.
Как да бъде тогава с общото уравнение на права линия в пространството? За да разберете как да го попитате, трябва да запомните нещо. Две равнини се пресичат по определена права линия. Какво означава това? Само че общото уравнение е резултат от решаването на система от две уравнения за равнини. Нека напишем тази система:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Тази система е общото уравнение на права линия в пространството. Обърнете внимание, че равнините не трябва да са успоредни една на друга, тоест техните нормални вектори трябва да са наклонени под някакъв ъгъл една спрямо друга. В противен случай системата няма да има решения.
По-горе дадохме векторната форма на уравнението за права линия. Удобна е за използване при решаване на тази система. За да направите това, първо трябва да намерите векторния продукт на нормалите на тези равнини. Резултатът от тази операция ще бъде вектор на посоката на права линия. След това трябва да се изчисли всяка точка, принадлежаща на правата. За да направите това, трябва да зададете някоя от променливите равна на определена стойност, двете оставащи променливи могат да бъдат намерени чрез решаване на редуцираната система.
Как да преведем векторно уравнение в общо? Нюанси
Това е реален проблем, който може да възникне, ако трябва да напишете общото уравнение на права линия, използвайки известните координати на две точки. Нека покажем как се решава този проблем с пример. Нека координатите на две точки са известни:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Уравнението във векторна форма е доста лесно за съставяне. Координатите на вектора на посоката са:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Забележете, че няма разлика, ако извадим Q координатите от координатите на точка P, векторът само ще промени посоката си към противоположната. Сега трябва да вземете произволна точка и да запишете векторното уравнение:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
За да се напише общото уравнение на права линия, параметърът λ трябва да бъде изразен и в двата случая. И след това сравнете резултатите. Имаме:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Остава само да отворите скобите и да прехвърлите всички членове на уравнението от едната страна на уравнението, за да получите общ израз за права линия, преминаваща през две известни точки.
В случай на триизмерен проблем алгоритъмът на решението се запазва, само резултатът му ще бъде система от две уравнения за равнини.
Задача
Необходимо е да се направи общо уравнениеправа линия, която пресича оста x в (-3, 0) и е успоредна на оста y.
Нека започнем да решаваме проблема, като напишем уравнението във векторна форма. Тъй като правата е успоредна на оста y, тогава насочващият вектор за нея ще бъде следният:
u¯=(0, 1).
След това желаният ред ще бъде написан както следва:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Сега нека преведем този израз в общ вид, за това изразяваме параметъра λ:
- x=-3;
- y=λ.
По този начин всяка стойност на променливата y принадлежи на реда, но само една стойност на променливата x съответства на нея. Следователно общото уравнение ще приеме формата:
x + 3=0.
Проблем с права линия в пространството
Известно е, че две пресичащи се равнини се дават от следните уравнения:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Необходимо е да се намери векторното уравнение на правата линия, по която тези равнини се пресичат. Да започваме.
Както беше казано, общото уравнение на права линия в триизмерно пространство вече е дадено под формата на система от две с три неизвестни. Първо, определяме вектора на посоката, по който се пресичат равнините. Умножавайки векторните координати на нормалите към равнините, получаваме:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Тъй като умножаването на вектор по отрицателно число обръща посоката му, можем да напишем:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Доза да се намери векторен израз за права линия, в допълнение към вектора на посоката, трябва да се знае някаква точка от тази права линия. Намерете, тъй като координатите му трябва да удовлетворяват системата от уравнения в условието на задачата, тогава ще ги намерим. Например, нека поставим x=0, тогава получаваме:
y=z;
y=3/2=1, 5.
По този начин точката, принадлежаща на желаната права линия, има координатите:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
След това получаваме отговора на този проблем, векторното уравнение на желаната линия ще изглежда така:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Правилността на решението може лесно да се провери. За да направите това, трябва да изберете произволна стойност на параметъра λ и да замените получените координати на точката на правата линия в двете уравнения за равнините, ще получите идентичност и в двата случая.
