Невъзможно е да се твърди, че знаете математика, ако не знаете как да начертавате графики, да чертаете неравенства върху координатна линия и да работите с координатни оси. Визуалният компонент в науката е жизненоважен, защото без нагледни примери във формули и изчисления понякога можете да се объркате много. В тази статия ще видим как да работим с координатни оси и ще научим как да изграждаме прости функционални графики.
Заявление
Координатната линия е основата на най-простите типове графики, които ученикът среща по образователния си път. Използва се в почти всички математически теми: при изчисляване на скорост и време, проектиране на размера на обектите и изчисляване на тяхната площ, в тригонометрията при работа със синуси и косинуси.
Основната стойност на такава директна линия е видимостта. Тъй като математиката е наука, която изисква високо ниво на абстрактно мислене, графиките помагат при представянето на обект в реалния свят. как се държи той? В коя точка от пространството ще сеняколко секунди, минути, часове? Какво може да се каже за него в сравнение с други обекти? Каква е скоростта му в произволно избран момент? Как да характеризирам неговото движение?
И ние говорим за скорост по някаква причина - тя често се показва чрез функционални графики. И те също могат да показват промени в температурата или налягането вътре в обекта, неговия размер, ориентация спрямо хоризонта. По този начин изграждането на координатна линия често се изисква и във физиката.
Едномерна графика
Има концепция за многоизмерност. В едномерното пространство само едно число е достатъчно, за да се определи местоположението на точка. Точно такъв е случаят с използването на координатната линия. Ако пространството е двуизмерно, тогава са необходими две числа. Диаграми от този тип се използват много по-често и определено ще ги разгледаме малко по-късно в статията.
Какво може да се види с помощта на точки на оста, ако има само една ос? Можете да видите размера на обекта, неговата позиция в пространството спрямо някаква "нула", т.е. точката, избрана като референтна точка.
Промяната на параметрите с течение на времето няма да се вижда, тъй като всички показания ще бъдат показани за един конкретен момент. Все пак трябва да се започне от някъде! Така че нека започваме.
Как да изградим координатна ос
Първо, трябва да начертаете хоризонтална линия - това ще бъде нашата ос. От дясната страна го „заострете“така, че да изглежда като стрелка. Така ще посочим посоката, в която ще бъдат числатанараства. В посока надолу стрелката обикновено не се поставя. Традиционно оста сочи надясно, така че просто ще следваме това правило.
Нека зададем нулева марка, която ще показва началото на координатите. Това е самото място, от което се взема обратното броене, независимо дали става дума за размер, тегло, скорост или нещо друго. В допълнение към нула, трябва задължително да посочим така наречената цена на разделяне, т.е. да въведем единичен стандарт, в съответствие с който ще начертаем определени количества върху оста. Това трябва да се направи, за да може да се намери дължината на отсечката на координатната линия.
На еднакво разстояние една от друга поставете точки или "нарези" на линията и под тях напишете съответно 1, 2, 3 и т.н. И сега всичко е готово. Но с получения график все още трябва да се научите как да работите.
Видове точки на координатната линия
От първия поглед към чертежите, предложени в учебниците, става ясно: точките по оста могат да бъдат запълнени или не. Мислите ли, че е съвпадение? Въобще не! За нестрого неравенство се използва "плътна" точка - такова, което се чете като "по-голямо или равно на". Ако трябва стриктно да ограничим интервала (например "x" може да приема стойности от нула до едно, но не го включва), ще използваме "куха" точка, тоест всъщност малък кръг на оста. Трябва да се отбележи, че учениците не обичат много строги неравенства, тъй като с тях се работи по-трудно.
В зависимост от това кои точки иматеизползване на графиката, изградените интервали също ще бъдат извикани. Ако неравенството от двете страни не е строго, тогава получаваме сегмент. Ако от една страна се окаже „отворено“, тогава ще се нарече полуинтервал. И накрая, ако част от линия е ограничена от двете страни с кухи точки, тя ще се нарече интервал.
Самолет
Когато конструираме две прави линии в координатната равнина, вече можем да разгледаме графиките на функциите. Да кажем, че хоризонталната линия е оста на времето, а вертикалната линия е разстоянието. И сега можем да определим какво разстояние ще преодолее обектът за минута или час пътуване. По този начин работата с равнина дава възможност да се следи промяната в състоянието на обект. Това е много по-интересно от изследването на статично състояние.
Най-простата графика на такава равнина е права линия, тя отразява функцията Y(X)=aX + b. Огъва ли се линията? Това означава, че обектът променя характеристиките си по време на изследването.
Представете си, че стоите на покрива на сграда и държите камък в протегната си ръка. Когато го пуснете, той ще лети надолу, започвайки движението си от нулева скорост. Но за секунда той ще преодолее 36 километра в час. Камъкът ще продължи да се ускорява допълнително и за да начертаете движението му върху графиката, ще трябва да измерите скоростта му в няколко точки във времето, като зададете точки по оста на съответните места.
Отметките на хоризонталната координатна линия по подразбиране се наричат X1, X2, X3, а на вертикалната - съответно Y1, Y2, Y3. проектиранеги до равнината и намирайки пресечки, намираме фрагменти от получения модел. Свързвайки ги с една линия, получаваме графика на функцията. В случай на падащ камък, квадратичната функция ще изглежда така: Y(X)=aXX + bX + c.
Скала
Разбира се, не е необходимо да поставяте цели числа до деленията по права линия. Ако обмисляте движението на охлюв, който пълзи със скорост от 0,03 метра в минута, задайте като стойности на координатната фракция. В този случай задайте интервала на скалата на 0,01 метра.
Особено удобно е да правите такива чертежи в тетрадка в клетка - тук можете веднага да видите дали има достатъчно място на листа за вашата диаграма, ако излезете отвъд полетата. Не е трудно да изчислите силата си, тъй като ширината на клетката в такъв бележник е 0,5 сантиметра. Отне - намали картината. Промените в мащаба на диаграмата няма да я накарат да загуби или да промени нейните свойства.
Координати на точки и сегменти
Когато математическа задача е дадена в урок, тя може да съдържа параметрите на различни геометрични форми, както под формата на дължини на страни, периметър, площ, така и под формата на координати. В този случай може да се наложи както да изградите форма, така и да получите някои данни, свързани с нея. Възниква въпросът: как да намерите необходимата информация на координатната линия? И как да изградим форма?
Например, говорим за точка. Тогава в условието на задачата ще се появи главна буква, а в скоби ще се появят няколко числа, най-често две (това означава, че ще броим в двуизмерно пространство). Ако има три числа в скоби, разделени с точка и запетая, тогава това е триизмерно пространство. Всяка от стойностите е координата на съответната ос: първо по хоризонтала (X), след това по вертикала (Y).
Запомнете как да нарисувате сегмент? Предадохте го по геометрия. Ако има две точки, тогава може да се начертае линия между тях. Техните координати са посочени в скоби, ако в проблема се появи сегмент. Например: A(15, 13) - B(1, 4). За да построите такава линия, трябва да намерите и маркирате точки в координатната равнина и след това да ги свържете. Това е!
И всички многоъгълници, както знаете, могат да бъдат начертани с помощта на сегменти. Проблемът е решен.
Изчисления
Да кажем, че има някакъв обект, чиято позиция по оста X се характеризира с две числа: той започва в точката с координата (-3) и завършва в (+2). Ако искаме да знаем дължината на този обект, тогава трябва да извадим по-малкото число от по-голямото число. Имайте предвид, че отрицателно число поглъща знака на изваждането, защото „минус по минус е равно на плюс“. Така събираме (2+3) и получаваме 5. Това е необходимият резултат.
Друг пример: дадена ни е крайната точка и дължината на обекта, но не и началната точка (и трябва да я намерим). Нека позицията на известната точка е (6), а размерът на изследвания обект е (4). Като извадим дължината от крайната координата, получаваме отговора. Общо: (6 - 4)=2.
Отрицателни числа
На практика често се изисква да се работи с отрицателни стойности. В този случай ще го направимпреместете наляво по координатната ос. Например, обект с височина 3 сантиметра плува във вода. Една трета от него е потопена в течност, две трети е във въздуха. След това, избирайки водната повърхност като ос, получаваме две числа, използвайки най-простите аритметични изчисления: горната точка на обекта има координата (+2), а долната - (-1) сантиметър.
Лесно е да се види, че в случай на самолет имаме четири четвърти от координатната права. Всеки от тях има свой номер. В първата (горната дясна) част ще има точки с две положителни координати, във втората - в горния ляв ъгъл - стойностите на оста X ще бъдат отрицателни, а по оста Y - положителни. Третата и четвъртата се броят обратно на часовниковата стрелка.
Важно свойство
Знаеш, че една права може да бъде представена като безкраен брой точки. Можем да разглеждаме толкова внимателно, колкото ни харесва произволен брой стойности във всяка посока на оста, но няма да срещнем повтарящи се. Изглежда наивно и разбираемо, но това твърдение произтича от важен факт: всяко число съответства на една и само една точка от координатната права.
Заключение
Не забравяйте, че всички оси, фигури и, ако е възможно, графики трябва да бъдат изградени върху линийка. Мерните единици не са измислени от човека случайно - ако направите грешка при рисуване, рискувате да видите изображение, различно от това, което е трябвало да бъде.
Бъдете внимателни и точни при начертаването и изчисленията. Като всяка наука, изучавана в училище, математиката обича точността. Положете малко усилия и добреоценките няма да закъснеят.
