Математиката не е скучна наука, както изглежда понякога. Има много интересно, макар и понякога неразбираемо за тези, които не искат да го разберат. Днес ще говорим за една от най-често срещаните и прости теми в математиката, или по-скоро за нейната област, която е на ръба на алгебрата и геометрията. Нека поговорим за линиите и техните уравнения. Изглежда, че това е скучна училищна тема, която не обещава нищо интересно и ново. Това обаче не е така и в тази статия ще се опитаме да ви докажем нашата гледна точка. Преди да преминем към най-интересното и да опишем уравнението на права линия през две точки, ще се обърнем към историята на всички тези измервания и след това ще разберем защо всичко е било необходимо и защо сега знанието на следните формули няма да боли също.
История
Дори в древни времена математиците са обичали геометричните конструкции и всякакви графики. Днес е трудно да се каже кой пръв измисли уравнението на права линия през две точки. Но може да се предположи, че този човек е Евклид -древногръцки учен и философ. Именно той в своя трактат "Начало" даде началото на основата на бъдещата евклидова геометрия. Сега този раздел по математика се счита за основа на геометричното представяне на света и се преподава в училище. Но си струва да се каже, че евклидовата геометрия работи само на макро ниво в нашето триизмерно измерение. Ако разгледаме пространството, тогава не винаги е възможно да си представим с него всички явления, които се случват там.
След Евклид имаше и други учени. И те усъвършенстваха и осмисляха това, което той открива и пише. В крайна сметка се получи стабилна област на геометрията, в която всичко все още остава непоклатимо. И от хиляди години е доказано, че уравнението на права линия през две точки е много лесно и лесно за съставяне. Но преди да започнем да обясняваме как да направим това, нека обсъдим малко теория.
Теория
Правата линия е безкраен сегмент в двете посоки, който може да бъде разделен на безкраен брой отсечки с произволна дължина. За представяне на права линия най-често се използват графики. Освен това графиките могат да бъдат както в двумерни, така и в триизмерни координатни системи. И те се изграждат според координатите на принадлежащите им точки. В крайна сметка, ако разгледаме права линия, можем да видим, че тя се състои от безкраен брой точки.
Въпреки това, има нещо, в което правата линия е много различна от другите видове линии. Това е нейното уравнение. Най-общо казано, това е много просто, за разлика от, да речем, уравнението на окръжността. Със сигурност всеки от нас е минал през това в училище. Новъпреки това нека запишем общата му форма: y=kx+b. В следващия раздел ще анализираме подробно какво означава всяка една от тези букви и как да решим това просто уравнение на права линия, минаваща през две точки.
Линее уравнение
Равенството, което беше представено по-горе, е уравнението с права линия, от което се нуждаем. Струва си да се обясни какво се има предвид тук. Както може би се досещате, y и x са координатите на всяка точка от правата. По принцип това уравнение съществува само защото всяка точка от всяка права линия има тенденция да бъде във връзка с други точки и следователно има закон, който свързва една координата с друга. Този закон определя как изглежда уравнението на права линия през две дадени точки.
Защо точно две точки? Всичко това е така, защото минималният брой точки, необходими за построяване на права линия в двуизмерно пространство, е две. Ако вземем триизмерно пространство, тогава броят на точките, необходими за построяването на една права линия, също ще бъде равен на две, тъй като три точки вече съставляват равнина.
Има и теорема, доказваща, че е възможно да се начертае една права линия през всякакви две точки. Този факт може да се провери на практика чрез свързване на две произволни точки на графиката с линийка.
Сега нека разгледаме конкретен пример и да покажем как да решим това прословуто уравнение на права линия, минаваща през две дадени точки.
Пример
Помислете за две точкикоито трябва да изградите права линия. Нека зададем техните координати, например M1(2;1) и M2(3;2). Както знаем от училищния курс, първата координата е стойността по оста OX, а втората е стойността по оста OY. По-горе беше дадено уравнението на права линия през две точки и за да открием липсващите параметри k и b, трябва да съставим система от две уравнения. Всъщност то ще бъде съставено от две уравнения, всяко от които ще съдържа нашите две неизвестни константи:
1=2k+b
2=3k+b
Сега остава най-важното: да разрешим тази система. Това се прави съвсем просто. Първо, нека изразим b от първото уравнение: b=1-2k. Сега трябва да заменим полученото равенство във второто уравнение. Това става чрез заместване на b с равенството, което получихме:
2=3k+1-2k
1=k;
Сега, когато знаем каква е стойността на коефициента k, е време да разберем стойността на следващата константа - b. Това става още по-лесно. Тъй като знаем зависимостта на b от k, можем да заместим стойността на последното в първото уравнение и да намерим неизвестната стойност:
b=1-21=-1.
Познавайки и двата коефициента, сега можем да ги заместим в оригиналното общо уравнение на права линия през две точки. Така за нашия пример получаваме следното уравнение: y=x-1. Това е желаното равенство, което трябваше да получим.
Преди да преминем към заключението, нека обсъдим приложението на този раздел от математиката в ежедневния живот.
Заявление
Като такова, уравнението на права линия през две точки не намира приложение. Но това не означава, че не ни трябва. По физика и математикамного активно се използват уравненията на линиите и свойствата, които следват от тях. Може дори да не го забележите, но математиката е навсякъде около нас. И дори такива на пръв поглед незабележими теми като уравнението на права линия през две точки се оказват много полезни и много често прилагани на фундаментално ниво. Ако на пръв поглед изглежда, че това не може да бъде полезно никъде, тогава грешите. Математиката развива логическото мислене, което никога няма да е излишно.
Заключение
Сега, когато разбрахме как да начертаем линии от две дадени точки, ни е лесно да отговорим на всеки въпрос, свързан с това. Например, ако учителят ви каже: „Напишете уравнението на права линия, минаваща през две точки“, тогава няма да ви е трудно да направите това. Надяваме се, че сте намерили тази статия за полезна.
