Важно понятие в математиката е функция. С негова помощ можете да визуализирате много процеси, протичащи в природата, да отразявате връзката между определени количества, като използвате формули, таблици и изображения на графика. Пример за това е зависимостта на налягането на течен слой върху тялото от дълбочината на потапяне, ускорението - от действието на определена сила върху обект, повишаването на температурата - от предаваната енергия и много други процеси. Изучаването на функция включва изграждането на графика, изясняване на нейните свойства, обхвата и стойностите, интервалите на нарастване и намаляване. Важен момент в този процес е намирането на екстремалните точки. За това как да го направите правилно и разговорът ще продължи.
За самата концепция на конкретен пример
В медицината начертаването на функционална графика може да разкаже за развитието на заболяването в тялото на пациента, като визуално отразява състоянието му. Да приемем, че времето в дни е нанесено по оста OX, а температурата на човешкото тяло е нанесена по оста OY. Фигурата ясно показва как този индикатор се повишава рязко ислед това пада. Също така е лесно да се забелязват единични точки, които отразяват моментите, когато функцията, след като преди това се е увеличила, започва да намалява и обратно. Това са крайните точки, тоест критичните стойности (максимални и минимални) в този случай на температурата на пациента, след което настъпват промени в състоянието му.
Ъгъл на наклон
Лесно е да се определи от фигурата как се променя производната на функция. Ако правите линии на графиката се покачват с течение на времето, тогава тя е положителна. И колкото по-стръмни са, толкова по-голяма е стойността на производната, тъй като ъгълът на наклон се увеличава. По време на периоди на спад, тази стойност приема отрицателни стойности, превръщайки се в нула в точките на екстремум, а графиката на производната в последния случай се изчертава успоредно на оста OX.
Всеки друг процес трябва да се третира по същия начин. Но най-доброто в тази концепция може да каже движението на различни тела, ясно показано на графиките.
Движение
Да предположим, че някакъв обект се движи по права линия, като набира скорост равномерно. През този период промяната в координатите на тялото графично представя определена крива, която математикът би нарекъл клон на парабола. В същото време функцията непрекъснато се увеличава, тъй като координатните индикатори се променят все по-бързо с всяка секунда. Графиката на скоростта показва поведението на производната, чиято стойност също нараства. Това означава, че движението няма критични точки.
Това щеше да продължи до безкрай. Но ако тялото изведнъж реши да забави, спрете и започнете да се движите в другпосока? В този случай координатните индикатори ще започнат да намаляват. И функцията ще премине критичната стойност и ще премине от нарастваща към намаляваща.
В този пример отново можете да разберете, че екстремалните точки на графиката на функцията се появяват в моментите, когато тя престава да бъде монотонна.
Физическо значение на производната
Описано по-рано ясно показа, че производната по същество е скоростта на промяна на функцията. Това усъвършенстване съдържа неговото физическо значение. Крайните точки са критични области на графиката. Възможно е да ги откриете и откриете чрез изчисляване на стойността на производната, която се оказва равна на нула.
Има още един знак, който е достатъчно условие за екстремум. Производната в такива места на флексия променя знака си: от "+" на "-" в областта на максимума и от "-" на "+" в областта на минимума.
Движение под въздействието на гравитацията
Нека си представим друга ситуация. Децата, играейки на топка, я хвърлиха по такъв начин, че тя започна да се движи под ъгъл към хоризонта. В първоначалния момент скоростта на този обект беше най-голямата, но под въздействието на гравитацията тя започна да намалява и с всяка секунда със същата стойност, равна на приблизително 9,8 m/s2. Това е стойността на ускорението, което се получава под въздействието на земната гравитация при свободно падане. На Луната би било около шест пъти по-малко.
Графиката, описваща движението на тялото е парабола с клони,надолу. Как да намерите екстремни точки? В този случай това е върхът на функцията, където скоростта на тялото (топката) придобива нулева стойност. Производната на функцията става нула. В този случай посоката, а оттам и стойността на скоростта, се променя на обратното. Тялото лети надолу с всяка секунда по-бързо и по-бързо и ускорява със същото количество - 9,8 m/s2.
Втора производна
В предишния случай графиката на модула на скоростта е начертана като права линия. Тази линия първо е насочена надолу, тъй като стойността на това количество непрекъснато намалява. След достигане на нула в един от моментите във времето, индикаторите на тази стойност започват да се увеличават и посоката на графичното представяне на модула за скорост се променя драстично. Линията вече сочи нагоре.
Скоростта, като производна по време на координатата, също има критична точка. В този регион функцията, първоначално намаляваща, започва да се увеличава. Това е мястото на точката на екстремум на производната на функцията. В този случай наклонът на допирателната става нула. А ускорението, което е втората производна на координатата по време, променя знака от “-” на “+”. И движението от равномерно бавно става равномерно ускорено.
Графика за ускорение
Сега помислете за четири снимки. Всеки от тях показва графика на промяната във времето на такава физическа величина като ускорението. В случай на "А" стойността му остава положителна и постоянна. Това означава, че скоростта на тялото, както и неговата координата, непрекъснато се увеличава. Акопредставете си, че обектът ще се движи по този начин за безкрайно дълго време, функцията, отразяваща зависимостта на координатата от времето, ще се окаже постоянно нарастваща. От това следва, че няма критични региони. На графиката на производната също няма точки на екстремум, тоест линейно променяща се скорост.
Същото важи и за случай "B" с положително и постоянно нарастващо ускорение. Вярно е, че графиките за координати и скорост тук ще бъдат малко по-сложни.
Когато ускорението клони към нула
Разглеждайки снимката "B", можете да видите съвсем различна картина, която характеризира движението на тялото. Скоростта му ще бъде графично изобразена като парабола с клони, насочени надолу. Ако продължим реда, описващ промяната в ускорението, докато се пресече с оста OX, и по-нататък, тогава можем да си представим, че до тази критична стойност, при която ускорението се оказва равно на нула, скоростта на обекта ще се увеличи все по-бавно. Точката на екстремум на производната на координатната функция ще бъде точно в горната част на параболата, след което тялото ще промени радикално естеството на движението и ще започне да се движи в другата посока.
В последния случай, "G", естеството на движението не може да бъде точно определено. Тук знаем само, че няма ускорение за определен период от време. Това означава, че обектът може да остане на място или движението се извършва с постоянна скорост.
Задача за координиране на събиране
Нека преминем към задачи, които често се срещат при изучаването на алгебра в училище и се предлагат заподготовка за изпита. Фигурата по-долу показва графиката на функцията. Необходимо е да се изчисли сумата от точките на екстремум.
Нека направим това за оста y, като определим координатите на критичните области, където се наблюдава промяна в характеристиките на функцията. Най-просто казано, намираме стойностите по оста x за точките на огъване и след това продължаваме да добавяме получените термини. Според графиката е очевидно, че те приемат следните стойности: -8; -7; -5; -3; -2; един; 3. Това събира до -21, което е отговорът.
Оптимално решение
Не е необходимо да се обяснява колко важен може да бъде изборът на оптимално решение при изпълнението на практически задачи. В крайна сметка има много начини за постигане на целта и най-добрият изход, като правило, е само един. Това е изключително необходимо, например, при проектирането на кораби, космически кораби и самолети, архитектурни конструкции, за да се намери оптималната форма на тези създадени от човека обекти.
Скоростта на превозните средства до голяма степен зависи от компетентното минимизиране на съпротивлението, което изпитват при движение през вода и въздух, от претоварвания, възникващи под въздействието на гравитационни сили и много други показатели. Корабът в морето се нуждае от такива качества като стабилност по време на буря; за речен кораб е важно минималното газене. При изчисляване на оптималния дизайн точките на екстремум на графиката могат визуално да дадат представа за най-доброто решение на сложен проблем. Задачи от този вид са честосе решават в икономиката, в икономическите области, в много други житейски ситуации.
От древната история
Екстремни проблеми са занимавали дори древните мъдреци. Гръцки учени успешно разкриха мистерията на площите и обемите чрез математически изчисления. Те първи разбраха, че на равнина от различни фигури с един и същ периметър кръгът винаги има най-голяма площ. По същия начин топката е надарена с максимален обем сред другите обекти в пространството със същата повърхност. Такива известни личности като Архимед, Евклид, Аристотел, Аполоний се посветиха на решаването на подобни проблеми. Херон успява много добре да намери екстремни точки, който, прибягвайки до изчисления, построи гениални устройства. Те включват автоматични машини, движещи се с помощта на пара, помпи и турбини, работещи на същия принцип.
Изграждане на Картаген
Има една легенда, чийто сюжет се основава на решаването на един от екстремните проблеми. Резултатът от бизнес подхода, демонстриран от финикийската принцеса, която се обърнала за помощ към мъдреците, е построяването на Картаген. Парцелът за този древен и известен град е подарен на Дидо (това е името на владетеля) от водача на едно от африканските племена. Първоначално площта на парцела не му се стори много голяма, тъй като според договора трябваше да бъде покрита с волска кожа. Но принцесата наредила на войниците си да го нарежат на тънки ивици и да направят колан от тях. Оказа се толкова дълъг, че покри сайта,където се вписва целият град.
Произходът на смятането
А сега да преминем от древни времена към по-късна ера. Интересното е, че през 17-ти век Кеплер е подтикнат да разбере основите на математическия анализ от среща с продавач на вино. Търговецът беше толкова добре запознат с професията си, че можеше лесно да определи обема на напитката в бъчвата, като просто спусне железен турникет в нея. Размишлявайки върху подобно любопитство, известният учен успя да разреши тази дилема за себе си. Оказва се, че сръчните бъчвари от онези времена са се научили да правят съдове по такъв начин, че при определена височина и радиус на обиколката на закрепващите халки да имат максимален капацитет.
Това беше причина за Кеплер за по-нататъшно размисъл. Bochars стигна до оптималното решение чрез дълго търсене, грешки и нови опити, предавайки опита си от поколение на поколение. Но Кеплер искаше да ускори процеса и да научи как да прави същото за кратко време чрез математически изчисления. Всичките му разработки, подхванати от колеги, се превърнаха в вече известните теореми на Ферма и Нютон - Лайбниц.
проблем с максимална площ
Нека си представим, че имаме проводник с дължина 50 см. Как да направим правоъгълник от него с най-голяма площ?
Започвайки решение, човек трябва да изхожда от прости и известни истини. Ясно е, че периметърът на нашата фигура ще бъде 50 см. Той също се състои от удвоени дължини на двете страни. Това означава, че след като единият от тях е обозначен като "X", другият може да бъде изразен като (25 - X).
От тук получавамеплощ, равна на X (25 - X). Този израз може да бъде представен като функция, която приема много стойности. Решението на задачата изисква намиране на максимума от тях, което означава, че трябва да откриете точките на екстремум.
За да направим това, намираме първата производна и я приравняваме на нула. Резултатът е просто уравнение: 25 - 2X=0.
От него научаваме, че една от страните X=12, 5.
Следователно, още един: 25 – 12, 5=12, 5.
Оказва се, че решението на проблема ще бъде квадрат със страна 12,5 см.
Как да намеря максималната скорост
Нека разгледаме още един пример. Представете си, че има тяло, чието праволинейно движение се описва с уравнението S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, където разстоянието изминатото се изразява в метри, а времето е в секунди. Необходимо е да се намери максималната скорост. Как да го направя? Изтеглено намерете скоростта, тоест първата производна.
Получаваме уравнението: V=- 3t2 + 18t – 24. Сега, за да решим задачата, отново трябва да намерим точките на екстремум. Това трябва да се направи по същия начин, както в предишната задача. Намерете първата производна на скоростта и я приравнете на нула.
Получаваме: - 6t + 18=0. Следователно t=3 s. Това е времето, когато скоростта на тялото придобива критична стойност. Заместваме получените данни в уравнението за скоростта и получаваме: V=3 m/s.
Но как да разберем, че това е точно максималната скорост, тъй като критичните точки на функция могат да бъдат нейните максимални или минимални стойности? За да проверите, трябва да намерите вторипроизводна на скоростта. Изразява се като числото 6 със знак минус. Това означава, че намерената точка е максималната. И в случай на положителна стойност на втората производна, ще има минимум. И така, намереното решение се оказа правилно.
Задачите, дадени като пример, са само част от тези, които могат да бъдат решени чрез намиране на екстремалните точки на функция. Всъщност има много повече. И такова знание отваря неограничени възможности за човешката цивилизация.
