Функцията и изучаването на нейните характеристики е една от ключовите глави в съвременната математика. Основният компонент на всяка функция са графики, изобразяващи не само нейните свойства, но и параметрите на производната на тази функция. Нека да разгледаме тази сложна тема. И така, какъв е най-добрият начин да намерите максималните и минималните точки на функция?
Функция: Определение
Всяка променлива, която зависи по някакъв начин от стойностите на друга стойност, може да се нарече функция. Например, функцията f(x2) е квадратична и определя стойностите за цялото множество x. Да кажем, че x=9, тогава стойността на нашата функция ще бъде равна на 92=81.
Функциите се предлагат в много различни типове: логически, векторни, логаритмични, тригонометрични, числови и други. Такива изключителни умове като Лакроа, Лагранж, Лайбниц и Бернули са били ангажирани с тяхното изследване. Техните писания служат като опора в съвременните начини за изучаване на функциите. Преди да намерите минималните точки, е много важно да разберете самото значение на функцията и нейната производна.
Производната и нейната роля
Всички функции са включенив зависимост от техните променливи стойности, което означава, че те могат да променят стойността си по всяко време. На графиката това ще бъде изобразено като крива, която се спуска или се издига по оста y (това е целият набор от числа "y" по вертикалата на графиката). И така определянето на точка на максимум и минимум на функцията просто е свързано с тези "колебания". Нека обясним каква е тази връзка.
Производната на която и да е функция се начертава на графика, за да се проучат основните й характеристики и да се изчисли колко бързо се променя функцията (т.е. променя стойността си в зависимост от променливата "x"). В момента, когато функцията се увеличава, графиката на нейната производна също ще се увеличи, но във всяка секунда функцията може да започне да намалява и тогава графиката на производната ще намалее. Тези точки, в които производната преминава от минус към плюс, се наричат минимални точки. За да знаете как да намерите минималните точки, трябва да разберете по-добре концепцията на производната.
Как да изчислим производната?
Определянето и изчисляването на производната на функция предполага няколко концепции от диференциалното смятане. Най-общо, самото определение на производната може да се изрази по следния начин: това е стойността, която показва скоростта на промяна на функцията.
Математическият начин за определянето му за много студенти изглежда сложен, но всъщност всичко е много по-просто. Просто трябва да следватестандартен план за намиране на производната на всяка функция. По-долу е описано как можете да намерите минималната точка на функция, без да прилагате правилата за диференциране и без да запомняте таблицата на производните.
- Можете да изчислите производната на функция с помощта на графика. За да направите това, трябва да изобразите самата функция, след това да вземете една точка върху нея (точка А на фиг.) Начертайте линия вертикално надолу до оста на абсцисата (точка x0) и в точка А начертайте допирателна към функционалната графика. Оста на абсцисата и допирателната образуват ъгъл а. За да изчислите стойността на колко бързо се увеличава функцията, трябва да изчислите тангенса на този ъгъл a.
- Оказва се, че тангенсът на ъгъла между допирателната и посоката на оста x е производна на функцията в малка площ с точка A. Този метод се счита за геометричен начин за определяне на производната.
Методи за изследване на функция
В училищната програма по математика е възможно да се намери минималната точка на функция по два начина. Вече анализирахме първия метод с помощта на графиката, но как да определим числената стойност на производната? За да направите това, ще трябва да научите няколко формули, които описват свойствата на производната и помагат за преобразуването на променливи като "x" в числа. Следният метод е универсален, така че може да се приложи към почти всички видове функции (както геометрични, така и логаритмични).
- Необходимо е функцията да се приравни с производната функция и след това да се опрости изразът с помощта на правилатадиференциация.
- разделете на нула).
- След това трябва да преобразувате оригиналната форма на функцията в просто уравнение, приравнявайки целия израз на нула. Например, ако функцията изглеждаше така: f(x)=2x3+38x, тогава според правилата за диференциране нейната производна е равна на f'(x)=3x 2 +1. След това трансформираме този израз в уравнение от следния вид: 3x2+1=0.
- След като решите уравнението и намерите точките "x", трябва да ги начертаете по оста x и да определите дали производната в тези области между маркираните точки е положителна или отрицателна. След обозначението ще стане ясно в кой момент функцията започва да намалява, тоест променя знака от минус на обратния. По този начин можете да намерите както минималните, така и максималните точки.
Правила за диференциация
Най-основната част от изучаването на функция и нейната производна е познаването на правилата за диференциране. Само с тяхна помощ е възможно да се трансформират тромави изрази и големи сложни функции. Нека се запознаем с тях, има доста от тях, но всички те са много прости поради редовните свойства както на степенните, така и на логаритмичните функции.
- Производната на всяка константа е нула (f(x)=0). Тоест, производната f(x)=x5+ x - 160 ще приеме следната форма: f' (x)=5x4+1.
- Производната на сбора от два члена: (f+w)'=f'w + fw'.
- Производна на логаритмична функция: (logad)'=d/ln ad. Тази формула се прилага за всички видове логаритми.
- Производна степен: (x)'=nxn-1. Например (9x2)'=92x=18x.
- Производна на синусоидална функция: (sin a)'=cos a. Ако грехът на ъгъл a е 0,5, тогава неговата производна е √3/2.
Екстремни точки
Вече разбрахме как да намерим минималните точки, но съществува концепцията за максимални точки на функция. Ако минимумът означава онези точки, в които функцията преминава от минус към плюс, тогава максималните точки са тези точки на оста x, в които производната на функцията се променя от плюс към обратното - минус.
Можете да намерите максималните точки, като използвате метода, описан по-горе, само трябва да се има предвид, че те означават онези области, където функцията започва да намалява, тоест производната ще бъде по-малка от нула.
В математиката е обичайно да се обобщават и двете понятия, като се заменят с фразата "точки на екстремум". Когато задачата иска да се определят тези точки, това означава, че е необходимо да се изчисли производната на тази функция и да се намерят минималните и максималните точки.
