Изучаването на функциите и техните графики е тема, на която се отделя специално внимание в рамките на гимназиалната учебна програма. Някои основи на математическия анализ – диференциация – са включени в профилното ниво на изпита по математика. Някои ученици имат проблеми с тази тема, тъй като бъркат графиките на функцията и производната, а също така забравят алгоритмите. Тази статия ще обхване основните типове задачи и как да ги решавате.
Каква е стойността на функцията?
Математическата функция е специално уравнение. Той установява връзка между числата. Функцията зависи от стойността на аргумента.
Стойността на функцията се изчислява по дадената формула. За да направите това, заменете всеки аргумент, който съответства на диапазона от валидни стойности в тази формула, на мястото на x и извършете необходимите математически операции. Какво?
Как можете да намерите най-малката стойност на функция,използвайки графична функция?
Графичното представяне на зависимостта на функция от аргумент се нарича функционална графика. Тя е изградена върху равнина с определен единичен сегмент, където стойността на променлива или аргумент е нанесена по хоризонталната абсцисна ос, а съответната стойност на функцията по вертикалната ординатна ос.
Колкото по-голяма е стойността на аргумента, толкова по-вдясно лежи той върху графиката. И колкото по-голяма е стойността на самата функция, толкова по-висока е точката.
Какво казва това? Най-малката стойност на функцията ще бъде точката, която е най-ниската на графиката. За да го намерите в сегмент от диаграма, ви трябва:
1) Намерете и маркирайте краищата на този сегмент.
2) Определете визуално коя точка от този сегмент е най-ниската.
3) В отговор запишете неговата числова стойност, която може да бъде определена чрез проектиране на точка върху оста y.
Екстремални точки на производната графика. Къде да гледам?
Въпреки това, когато се решават задачи, понякога се дава графика не на функция, а на нейната производна. За да избегнете случайно да направите глупава грешка, по-добре е внимателно да прочетете условията, тъй като зависи от това къде трябва да търсите точки на екстремум.
И така, производната е моментната скорост на нарастване на функцията. Съгласно геометричната дефиниция, производната съответства на наклона на допирателната, която е директно изтеглена към дадената точка.
Известно е, че в точките на екстремум допирателната е успоредна на оста Ox. Това означава, че наклонът му е 0.
От това можем да заключим, че в точките на екстремум производната лежи върху оста x или изчезва. Но освен това в тези точки функцията променя посоката си. Тоест, след период на нарастване, той започва да намалява и производната, съответно, се променя от положителна към отрицателна. Или обратното.
Ако производната стане отрицателна от положителна, това е максималната точка. Ако от отрицателно стане положително - минималната точка.
Важно: ако трябва да посочите минимална или максимална точка в задачата, тогава в отговор трябва да напишете съответната стойност по оста на абсцисата. Но ако трябва да намерите стойността на функцията, тогава първо трябва да замените съответната стойност на аргумента във функцията и да я изчислите.
Как да намеря точки на екстремум с помощта на производна?
Разгледаните примери се отнасят основно до задача номер 7 от изпита, която включва работа с графика на производна или антидериват. Но задача 12 на USE - да се намери най-малката стойност на функция на сегмент (понякога най-голямата) - се изпълнява без никакви чертежи и изисква основни умения в математически анализ.
За да го изпълните, трябва да можете да намерите точки на екстремум с помощта на производната. Алгоритъмът за намирането им е следният:
- Намерете производната на функция.
- Настройте на нула.
- Намерете корените на уравнението.
- Проверете дали получените точки са екстремални или преклонни точки.
За да направите това, начертайте диаграма и нататъкполучените интервали определят знаците на производната чрез заместване на числата, принадлежащи на сегментите, в производната. Ако при решаването на уравнението сте получили корени от двойна кратност, това са точки на флексия.
Прилагайки теоремите, определете кои точки са минимални и кои са максимални
Изчислете най-малката стойност на функция с помощта на производна
Въпреки това, след като извършихме всички тези действия, ще намерим стойностите на минималните и максималните точки по оста x. Но как да намерим най-малката стойност на функция в сегмент?
Какво трябва да се направи, за да се намери числото, което съответства на функцията в определена точка? Трябва да замените стойността на аргумента в тази формула.
Точки минимум и максимум съответстват на най-малката и най-голямата стойност на функцията в сегмента. Така че, за да намерите стойността на функцията, трябва да изчислите функцията, като използвате получените x стойности.
Важно! Ако задачата изисква да посочите минимална или максимална точка, тогава в отговор трябва да напишете съответната стойност по оста x. Но ако трябва да намерите стойността на функцията, тогава първо трябва да замените съответната стойност на аргумента във функцията и да изпълните необходимите математически операции.
Какво да направя, ако няма ниски нива в този сегмент?
Но как да намерите най-малката стойност на функция в сегмент без точки на екстремум?
Това означава, че функцията монотонно намалява или нараства върху нея. След това трябва да замените стойността на крайните точки на този сегмент във функцията. Има два начина.
1) След като се изчислипроизводна и интервалите, на които тя е положителна или отрицателна, за да се заключи дали функцията намалява или нараства на даден сегмент.
В съответствие с тях, заместете по-голяма или по-малка стойност на аргумента във функцията.
2) Просто заменете двете точки във функцията и сравнете получените стойности на функцията.
В кои задачи намирането на производната е по избор
По правило в заданията USE все още трябва да намерите производната. Има само няколко изключения.
1) Парабола.
Върхът на параболата се намира по формулата.
Ако е < 0, тогава клоните на параболата са насочени надолу. И неговият връх е максималната точка.
Ако > 0, тогава клоните на параболата са насочени нагоре, върхът е минималната точка.
След като сте изчислили точката на върха на параболата, трябва да замените нейната стойност във функцията и да изчислите съответната стойност на функцията.
2) Функция y=tg x. Или y=ctg x.
Тези функции се увеличават монотонно. Следователно, колкото по-голяма е стойността на аргумента, толкова по-голяма е стойността на самата функция. След това ще разгледаме как да намерим най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент с примери.
Основни типове задачи
Задача: най-голямата или най-малката стойност на функцията. Пример на графиката.
На снимката виждате графиката на производната на функцията f (x) на интервала [-6; 6]. В коя точка от сегмента [-3; 3] f(x) приема най-малката стойност?
И така, за начало трябва да изберете посочения сегмент. На него функцията веднъж приема нулева стойност и променя знака си - това е точката на екстремум. Тъй като производната от отрицателна става положителна, това означава, че това е минималната точка на функцията. Тази точка съответства на стойността на аргумента 2.
Отговор: 2.
Продължете да разглеждате примерите. Задача: намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията в сегмента.
Намерете най-малката стойност на функцията y=(x - 8) ex-7на интервала [6; 8].
1. Вземете производната на сложна функция.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Приравнете получената производна към нула и решете уравнението.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, или ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, без корени
3. Заменете стойността на екстремните точки във функцията, както и получените корени на уравнението.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Отговор: -1.
И така, в тази статия беше разгледана основната теория за това как да се намери най-малката стойност на функция на сегмент, която е необходима за успешното решаване на USE задачи в специализираната математика. Също така елементи на математическитеанализите се използват при решаване на задачи от част C на изпита, но очевидно представляват различно ниво на сложност, а алгоритмите за техните решения трудно се вписват в рамките на един материал.
