Способността за работа с числови изрази, съдържащи квадратен корен е необходима за успешното решаване на редица проблеми от OGE и USE. При тези изпити обикновено е достатъчно основно разбиране за това какво е извличане на корен и как се прави на практика.
Определение
N-тият корен на число X е число x, за което е вярно равенството: xn =X.
Намирането на стойността на израз с корен означава намиране на x при дадени X и n.
Квадратният корен или, което е същото, вторият корен от X - числото x, за което е изпълнено равенството: x2 =X.
Обозначение: ∛Х. Тук 3 е степента на корена, X е коренният израз. Знакът „√“често се нарича радикал.
Ако числото над корена не показва степента, тогава по подразбиране степента е 2.
В училищен курс за четни степени обикновено не се вземат предвид отрицателните корени и радикалните изрази. Например, няма√-2, а за израза √4 верният отговор е 2, въпреки факта, че (-2)2 също е равно на 4.
Рационалност и ирационалност на корените
Най-простата възможна задача с корен е да се намери стойността на израз или да се тества за рационалност.
Например, изчислете стойностите √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5, защото 52 =25;
- ∛8=2, защото 23 =8;
- ∛ - 125=-5, тъй като (-5)3 =-125.
Отговорите в дадените примери са рационални числа.
Когато работите с изрази, които не съдържат буквални константи и променливи, се препоръчва винаги да се извършва такава проверка, като се използва обратната операция на повишаване на естествена степен. Намирането на числото x на n-та степен е еквивалентно на изчисляване на произведението на n фактора на x.
Има много изрази с корен, чиято стойност е ирационална, тоест записана като безкрайна непериодична дроб.
По дефиниция рационалните числа са тези, които могат да бъдат изразени като обикновена дроб, а ирационалните са всички други реални числа.
Те включват √24, √0, 1, √101.
Ако проблемната книга казва: намерете стойността на израза с корен от 2, 3, 5, 6, 7 и т.н., тоест от онези естествени числа, които не се съдържат в таблицата с квадрати, тогава правилният отговор е √ 2 може да присъства (освен ако не е посочено друго).
Оценка
При проблеми сотворен отговор, ако е невъзможно да се намери стойността на израз с корен и да се запише като рационално число, резултатът трябва да бъде оставен като радикал.
Някои задачи може да изискват оценка. Например, сравнете 6 и √37. Решението изисква квадратура на двете числа и сравняване на резултатите. От две числа по-голямо е това, чийто квадрат е по-голям. Това правило работи за всички положителни числа:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- означава √37 > 6.
По същия начин се решават задачи, при които няколко числа трябва да бъдат подредени във възходящ или низходящ ред.
Пример: Подредете 5, √6, √48, √√64 във възходящ ред.
След квадратурата имаме: 25, 6, 48, √64. Човек би могъл отново да квадратира всички числа, за да ги сравни с √64, но то е равно на рационалното число 8. 6 < 8 < 25 < 48, така че решението е: 48.
Опростяване на израза
Случва се да е невъзможно да се намери стойността на израз с корен, така че трябва да се опрости. Следната формула помага за това:
√ab=√a√b.
Коренът на произведението на две числа е равен на произведението на техните корени. Тази операция също ще изисква възможност за разлагане на число.
В началния етап, за да се ускори работата, се препоръчва да имате под ръка таблица с прости числа и квадрати. Тези маси с честиупотребата в бъдеще ще бъде запомнена.
Например, √242 е ирационално число, можете да го преобразувате по следния начин:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Обикновено резултатът се записва като 11√2 (четете: единадесет корена от два).
Ако е трудно веднага да се види на кои два фактора трябва да се разложи числото, за да може да се извлече естествен корен от един от тях, можете да използвате пълното разлагане на прости фактори. Ако едно и също просто число се среща два пъти в разширението, то се изважда от основния знак. Когато има много фактори, можете да извлечете корена на няколко стъпки.
Пример: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Числото 2 се среща в разширението 2 пъти (всъщност повече от два пъти, но все още се интересуваме от първите две поява в разширението).
Изваждаме го изпод основния знак:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Повторете същото действие:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
В оставащия радикален израз 2 и 3 се срещат веднъж, така че остава да извадим фактор 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
и изпълнявайте аритметични операции:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
И така, получаваме √2400=20√6.
Ако задачата не гласи изрично: "намерете стойността на израза с квадратен корен", тогава изборът,под каква форма да остави отговора (дали да извлече корена от под радикала) остава на ученика и може да зависи от решавания проблем.
На първо време се поставят високи изисквания към дизайна на задачите, изчислението, включително устно или писмено, без използване на технически средства.
Само след добро овладяване на правилата за работа с ирационални числови изрази, има смисъл да се премине към по-трудни буквални изрази и към решаване на ирационални уравнения и изчисляване на диапазона от възможни стойности на израза под радикален.
Студентите се сблъскват с този тип проблем на Единния държавен изпит по математика, както и в първата година на специализирани университети при изучаване на математически анализ и сродни дисциплини.
