За да се намерят функциите на разпределение на случайните променливи и техните променливи, е необходимо да се проучат всички характеристики на тази област на знанието. Има няколко различни метода за намиране на въпросните стойности, включително промяна на променлива и генериране на момент. Разпределението е концепция, базирана на такива елементи като дисперсия, вариации. Те обаче характеризират само степента на амплитудата на разсейване.
По-важните функции на произволните променливи са тези, които са свързани и независими, и равномерно разпределени. Например, ако X1 е теглото на произволно избран индивид от мъжка популация, X2 е теглото на друг, … и Xn е теглото на още един човек от мъжката популация, тогава трябва да знаем как произволната функция X се разпределя. В този случай се прилага класическата теорема, наречена централна гранична теорема. Позволява ви да покажете, че за големи n функцията следва стандартни разпределения.
Функции на една произволна променлива
Централната пределна теорема е за апроксимиране на дискретни стойности, които се разглеждат, като бином и Поасон. Функциите на разпределение на произволните променливи се разглеждат преди всичко върху прости стойности на една променлива. Например, ако X е непрекъсната случайна променлива със собствено разпределение на вероятностите. В този случай ние изследваме как да намерим функцията на плътността на Y, използвайки два различни подхода, а именно метода на функцията на разпределение и промяната на променливата. Първо, разглеждат се само стойностите едно към едно. След това трябва да промените техниката на промяна на променливата, за да намерите нейната вероятност. И накрая, трябва да научим как функцията за обратно кумулативно разпределение може да помогне за моделирането на произволни числа, които следват определени последователни модели.
Метод на разпределение на разглежданите стойности
Методът на функцията за разпределение на вероятностите на произволна променлива е приложим, за да се намери нейната плътност. При използване на този метод се изчислява кумулативна стойност. След това, като го диференцирате, можете да получите плътността на вероятността. Сега, когато имаме метода на функцията за разпределение, можем да разгледаме още няколко примера. Нека X е непрекъсната случайна променлива с определена плътност на вероятността.
Каква е функцията на плътността на вероятността на x2? Ако погледнете или изобразите функцията (отгоре и вдясно) y=x2, можете да отбележите, че това е нарастващ X и 0 <y<1. Сега трябва да използвате разглеждания метод, за да намерите Y. Първо, кумулативната функция на разпределение е намерена, просто трябва да диференцирате, за да получите плътността на вероятността. Правейки това, получаваме: 0<y<1. Методът на разпределение е успешно приложен за намиране на Y, когато Y е нарастваща функция на X. Между другото, f(y) се интегрира в 1 през y.
В последния пример беше използвано голямо внимание за индексиране на кумулативните функции и плътността на вероятността с X или Y, за да се посочи към коя случайна променлива принадлежат. Например, когато намираме кумулативната функция на разпределение на Y, получаваме X. Ако трябва да намерите произволна променлива X и нейната плътност, тогава просто трябва да я разграничите.
Техника за променлива промяна
Нека X е непрекъсната случайна променлива, дадена от функция на разпределение с общ знаменател f (x). В този случай, ако поставите стойността на y в X=v (Y), тогава получавате стойността на x, например v (y). Сега трябва да получим функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива Y. Където първото и второто равенство се осъществяват от дефиницията на кумулативното Y. Третото равенство е валидно, защото частта от функцията, за която u (X) ≦ y е вярно е също, че X ≦ v (Y). И последното се прави, за да се определи вероятността в непрекъсната случайна променлива X. Сега трябва да вземем производната на FY (y), кумулативната функция на разпределение на Y, за да получим плътността на вероятностите Y.
Обобщение за функцията за намаляване
Нека X е непрекъсната случайна променлива с общ f (x), дефиниран върху c1<x<c2. И нека Y=u (X) е намаляваща функция на X с обратна X=v (Y). Тъй като функцията е непрекъсната и намаляваща, има обратна функция X=v (Y).
За да разрешите този проблем, можете да събирате количествени данни и да използвате емпиричната кумулативна функция за разпределение. С тази информация и привлекателна за нея, трябва да комбинирате средни проби, стандартни отклонения, медийни данни и т.н.
По подобен начин дори един доста прост вероятностен модел може да има огромен брой резултати. Например, ако хвърлите монета 332 пъти. Тогава броят на резултатите, получени от обръщанията, е по-голям от този на google (10100) - число, но не по-малко от 100 квинтилиона пъти по-голямо от елементарните частици в известната вселена. Не се интересувам от анализ, който дава отговор на всеки възможен резултат. Ще е необходима по-проста концепция, като например броя на главите или най-дългия ход на опашките. За да се съсредоточи върху въпроси от интерес, се приема конкретен резултат. Дефиницията в този случай е следната: произволна променлива е реална функция с вероятностно пространство.
Обхватът S на произволна променлива понякога се нарича пространство на състоянията. По този начин, ако X е въпросната стойност, тогава N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc и т.н. Последното от тях, закръглявайки X до най-близкото цяло число, се нарича функция на етажа.
Разпределителни функции
След като функцията на разпределение, която представлява интерес за произволна променлива x е определена, въпросът обикновено става: "Какви са шансовете X да попадне в някакво подмножество от B стойности?". Например, B={нечетни числа}, B={по-голямо от 1} или B={между 2 и 7}, за да посочат тези резултати, които имат X, стойносттапроизволна променлива, в подмножество A. Така в горния пример можете да опишете събитията, както следва.
{X е нечетно число}, {X е по-голямо от 1}={X> 1}, {X е между 2 и 7}={2 <X <7}, за да съответства на трите опции по-горе за подмножество B. Много свойства на произволни величини не са свързани с конкретен X. По-скоро те зависят от това как X разпределя своите стойности. Това води до дефиниция, която звучи така: функцията на разпределение на произволна променлива x е кумулативна и се определя от количествени наблюдения.
Случайни променливи и функции на разпределение
По този начин можете да изчислите вероятността функцията на разпределение на произволна променлива x да приеме стойности в интервала чрез изваждане. Помислете за включване или изключване на крайни точки.
Ще наречем произволна променлива дискретна, ако има крайно или преброимо безкрайно пространство на състоянията. По този начин, X е броят на главите при три независими обръщания на предубедена монета, която се увеличава с вероятност p. Трябва да намерим кумулативната функция на разпределение на дискретна случайна променлива FX за X. Нека X е броят на пиковете в колекция от три карти. Тогава Y=X3 чрез FX. FX започва от 0, завършва на 1 и не намалява с увеличаване на стойностите на x. Кумулативната функция за разпределение на FX на дискретна случайна променлива X е постоянна, с изключение на скокове. При скачане ефектът е непрекъснат. Докажете твърдението за правилнотоприемствеността на функцията на разпределение от свойството на вероятността е възможна с помощта на дефиницията. Звучи така: константна произволна променлива има кумулативен FX, който е диференцируем.
За да покажем как това може да се случи, можем да дадем пример: цел с единичен радиус. Предполага се. стрелата се разпределя равномерно върху определената площ. За някои λ> 0. По този начин функциите на разпределение на непрекъснатите случайни величини се увеличават плавно. FX има свойствата на функция за разпределение.
Мъж чака на автобусната спирка, докато автобусът пристигне. След като сам реши, че ще откаже, когато чакането достигне 20 минути. Тук е необходимо да се намери кумулативната функция на разпределение за T. Времето, когато човек все още ще бъде на автогарата или няма да си тръгне. Въпреки факта, че кумулативната функция на разпределение е дефинирана за всяка произволна променлива. Въпреки това доста често ще се използват други характеристики: масата за дискретна променлива и функцията на плътността на разпределението на произволна променлива. Обикновено стойността се извежда чрез една от тези две стойности.
Масови функции
Тези стойности се разглеждат от следните свойства, които имат общ (масов) характер. Първият се основава на факта, че вероятностите не са отрицателни. Второто следва от наблюдението, че множеството за всички x=2S, пространството на състоянията за X, образува дял на вероятностната свобода на X. Пример: хвърляне на предубедена монета, чиито резултати са независими. Можете да продължите да правитеопределени действия, докато не получите ролка с глави. Нека X означава произволна променлива, която дава броя на опашките пред първата глава. И p означава вероятността във всяко дадено действие.
И така, функцията на масовата вероятност има следните характерни черти. Тъй като термините образуват числова последователност, X се нарича геометрична произволна променлива. Геометрична схема c, cr, cr2,.,,, crn има сума. И следователно sn има ограничение като n 1. В този случай безкрайната сума е границата.
Масовата функция по-горе образува геометрична последователност със съотношение. Следователно естествените числа a и b. Разликата в стойностите във функцията на разпределение е равна на стойността на функцията за маса.
Разглежданите стойности на плътност имат дефиниция: X е произволна променлива, чието FX разпределение има производна. FX, удовлетворяващ Z xFX (x)=fX (t) dt-1, се нарича функция на плътността на вероятността. А X се нарича непрекъсната случайна променлива. В основната теорема на смятането, функцията на плътността е производна на разпределението. Можете да изчислите вероятностите, като изчислите определени интеграли.
Тъй като данните се събират от множество наблюдения, повече от една случайна променлива наведнъж трябва да се вземе предвид за моделиране на експерименталните процедури. Следователно наборът от тези стойности и тяхното съвместно разпределение за двете променливи X1 и X2 означава гледане на събития. За дискретни случайни променливи се дефинират съвместни вероятностни масови функции. За непрекъснати се разглеждат fX1, X2, къдетоплътността на съвместната вероятност е удовлетворена.
Независими произволни променливи
Две случайни променливи X1 и X2 са независими, ако две събития, свързани с тях, са еднакви. С думи, вероятността две събития {X1 2 B1} и {X2 2 B2} да възникнат едновременно, y, е равна на произведението на променливите по-горе, всяко от тях да се случи поотделно. За независими дискретни случайни променливи съществува съвместна вероятностна масова функция, която е продукт на ограничаващия йонен обем. За непрекъснати случайни променливи, които са независими, общата функция на плътността на вероятността е продукт на стойностите на пределната плътност. Накрая разглеждаме n независими наблюдения x1, x2,.,,, xn, произтичащи от неизвестна функция на плътност или маса f. Например, неизвестен параметър във функциите за експоненциална произволна променлива, описваща времето за изчакване за шина.
Имитация на произволни променливи
Основната цел на това теоретично поле е да предостави инструментите, необходими за разработване на процедури за извод, базирани на стабилни принципи на статистическата наука. По този начин, един много важен случай на използване на софтуера е способността да се генерират псевдоданни, които да имитират действителна информация. Това прави възможно тестването и подобряването на методите за анализ, преди да се наложи да ги използвате в реални бази данни. Това е необходимо, за да се изследват свойствата на данните чрезмоделиране. За много често използвани семейства от произволни променливи, R предоставя команди за генерирането им. При други обстоятелства ще са необходими методи за моделиране на поредица от независими случайни променливи, които имат общо разпределение.
Дискретни произволни променливи и команден модел. Командата sample се използва за създаване на прости и стратифицирани произволни проби. В резултат на това, ако се въведе последователност x, sample(x, 40) избира 40 записа от x, така че всички възможности за избор с размер 40 да имат еднаква вероятност. Това използва командата R по подразбиране за извличане без подмяна. Може да се използва и за моделиране на дискретни случайни променливи. За да направите това, трябва да предоставите пространство за състояния във вектора x и функцията на масата f. Извикване за замяна=TRUE показва, че семплирането се извършва със замяна. След това, за да се даде извадка от n независими произволни променливи, които имат обща функция на масата f, се използва извадката (x, n, replace=TRUE, prob=f).
Определено, че 1 е най-малката представена стойност, а 4 е най-голямата от всички. Ако командата prob=f е пропусната, тогава извадката ще вземе еднакво извадка от стойностите във вектор x. Можете да проверите симулацията спрямо масовата функция, която генерира данните, като погледнете знака за двойно равенство,==. И преизчисляване на наблюденията, които приемат всяка възможна стойност за x. Можете да направите маса. Повторете това за 1000 и сравнете симулацията със съответната функция за маса.
Илюстрация на вероятностната трансформация
Първосимулира хомогенни функции на разпределение на случайни величини u1, u2,.,,, un на интервала [0, 1]. Около 10% от числата трябва да са в рамките на [0, 3, 0, 4]. Това съответства на 10% от симулациите на интервала [0, 28, 0, 38] за произволна променлива с показана функция за разпределение на FX. По същия начин около 10% от произволните числа трябва да са в интервала [0, 7, 0, 8]. Това съответства на 10% симулации на интервала [0, 96, 1, 51] на произволната променлива с функцията на разпределение FX. Тези стойности по оста x могат да бъдат получени, като се вземе обратното от FX. Ако X е непрекъсната случайна променлива с плътност fX положителна навсякъде в своя домейн, тогава функцията на разпределение е строго нарастваща. В този случай FX има обратна функция FX-1, известна като квантилна функция. FX (x) u само когато x FX-1 (u). Вероятната трансформация следва от анализа на случайната променлива U=FX (X).
FX има диапазон от 0 до 1. Не може да бъде под 0 или над 1. За стойности на u между 0 и 1. Ако U може да се симулира, тогава трябва да бъде произволна променлива с разпределение на FX симулиран чрез квантилна функция. Вземете производната, за да видите, че плътността u варира в рамките на 1. Тъй като произволната променлива U има постоянна плътност през интервала от възможните си стойности, тя се нарича равномерна в интервала [0, 1]. Той е моделиран в R с командата runif. Идентичността се нарича вероятностна трансформация. Можете да видите как работи в примера за дартс дъска. X между 0 и 1, функцияразпределение u=FX (x)=x2, а оттам и квантилната функция x=FX-1 (u). Възможно е да се моделират независими наблюдения на разстоянието от центъра на панела за дартс и по този начин да се създават еднородни произволни променливи U1, U2,.,, Un. Функцията за разпределение и емпиричната функция се основават на 100 симулации на разпределението на дъска за дартс. За експоненциална случайна променлива, вероятно u=FX (x)=1 - exp (- x), и следователно x=- 1 ln (1 - u). Понякога логиката се състои от еквивалентни твърдения. В този случай трябва да свържете двете части на аргумента. Идентичността на пресечната точка е подобна за всички 2 {S i i} S, вместо някаква стойност. Обединението Ci е равно на пространството на състоянията S и всяка двойка е взаимно изключваща се. Тъй като Bi - се разделя на три аксиоми. Всяка проверка се основава на съответната вероятност P. За всяко подмножество. Използване на самоличност, за да се уверите, че отговорът не зависи от това дали са включени крайните точки на интервала.
Експоненциална функция и нейните променливи
За всеки резултат от всички събития в крайна сметка се използва второто свойство на непрекъснатостта на вероятностите, което се счита за аксиоматично. Законът за разпределение на функцията на произволна променлива тук показва, че всяка има свое собствено решение и отговор.
