Теорията на вероятностите е специален клон на математиката, който се изучава само от студенти от висши учебни заведения. Обичате ли изчисления и формули? Не се ли страхувате от перспективите за запознаване с нормалното разпределение, ентропията на ансамбъла, математическото очакване и дисперсията на дискретна случайна променлива? Тогава тази тема ще бъде от голям интерес за вас. Нека се запознаем с някои от най-важните основни понятия на този раздел на науката.
Припомнете си основите
Дори ако си спомняте най-простите концепции на теорията на вероятностите, не пренебрегвайте първите параграфи на статията. Факт е, че без ясно разбиране на основите, няма да можете да работите с формулите, обсъдени по-долу.
И така, има някакво случайно събитие, някакъв експеримент. В резултат на извършените действия можем да получим няколко резултата - някои от тях са по-чести, други по-рядко срещани. Вероятността за събитие е съотношението на броя на реално получените резултати от един вид към общия брой възможни. Само като знаете класическата дефиниция на това понятие, можете да започнете да изучавате математическото очакване и дисперсията на непрекъснатотопроизволни променливи.
Средноаритметично
Дори в училище, в уроците по математика, започнахте да работите със средноаритметичната стойност. Тази концепция се използва широко в теорията на вероятностите и следователно не може да бъде пренебрегната. Основното за нас в момента е, че ще го срещнем във формулите за математическо очакване и дисперсия на произволна променлива.
Имаме поредица от числа и искаме да намерим средноаритметичното. Всичко, което се изисква от нас, е да сумираме всичко налично и да разделим на броя на елементите в последователността. Нека имаме числа от 1 до 9. Сборът от елементите ще бъде 45 и ще разделим тази стойност на 9. Отговор: - 5.
Дисперсия
Научно казано, дисперсията е средният квадрат на отклоненията на получените стойности на характеристиките от средното аритметично. Единият се обозначава с главна латинска буква D. Какво е необходимо, за да се изчисли? За всеки елемент от последователността изчисляваме разликата между наличното число и средното аритметично и я квадратираме. Ще има точно толкова стойности, колкото може да има резултати за събитието, което обмисляме. След това обобщаваме всичко получено и разделяме на броя на елементите в последователността. Ако имаме пет възможни резултата, тогава разделете на пет.
Дисперсията също има свойства, които трябва да запомните, за да го приложите при решаване на проблеми. Например, ако произволната променлива се увеличи с X пъти, дисперсията се увеличава с X пъти квадрата (т.е. XX). Никога не е по-малко от нула и не зависи отизместване на стойности с еднаква стойност нагоре или надолу. Също така, за независими опити, дисперсията на сумата е равна на сумата от дисперсиите.
Сега определено трябва да разгледаме примери за дисперсията на дискретна случайна променлива и математическото очакване.
Да предположим, че проведохме 21 експеримента и получихме 7 различни резултата. Наблюдавахме всеки от тях съответно 1, 2, 2, 3, 4, 4 и 5 пъти. Каква ще бъде дисперсията?
Първо, нека изчислим средноаритметичната стойност: сборът на елементите, разбира се, е 21. Разделете го на 7, получавайки 3. Сега извадете 3 от всяко число в оригиналната последователност, квадратирайте всяка стойност и добавете резултатите заедно. Оказва се 12. Сега остава да разделим числото на броя на елементите и, изглежда, това е всичко. Но има уловка! Нека го обсъдим.
Зависимост от броя на експериментите
Оказва се, че при изчисляване на дисперсията знаменателят може да бъде едно от двете числа: или N, или N-1. Тук N е броят на извършените експерименти или броят на елементите в последователността (което всъщност е същото). От какво зависи?
Ако броят на тестовете се измерва в стотици, тогава трябва да поставим N в знаменателя. Ако в единици, тогава N-1. Учените решиха да начертаят границата доста символично: днес тя минава по дължината на числото 30. Ако сме провели по-малко от 30 експеримента, тогава ще разделим количеството на N-1, а ако е повече, тогава на N.
Задача
Нека се върнем към нашия пример за решаване на проблема с дисперсията и очакванията. ниеполучи междинно число от 12, което трябваше да бъде разделено на N или N-1. Тъй като проведохме 21 експеримента, което е по-малко от 30, ще изберем втория вариант. Така че отговорът е: дисперсията е 12 / 2=2.
Очакване
Нека да преминем към втората концепция, която трябва да разгледаме в тази статия. Математическото очакване е резултат от добавяне на всички възможни резултати, умножени по съответните вероятности. Важно е да се разбере, че получената стойност, както и резултатът от изчисляването на дисперсията, се получава само веднъж за цялата задача, без значение колко резултата отчита.
Формулата за очакване е доста проста: вземаме резултат, умножаваме го по неговата вероятност, добавяме същото за втория, третия резултат и т.н. Всичко свързано с тази концепция е лесно да се изчисли. Например, сумата от математическите очаквания е равна на математическото очакване на сумата. Същото важи и за работата. Не всяка величина в теорията на вероятностите позволява извършването на такива прости операции. Нека вземем задача и да изчислим стойността на две понятия, които сме изучавали наведнъж. Освен това бяхме разсеяни от теорията - време е да практикуваме.
Друг пример
Проведохме 50 опита и получихме 10 вида резултати - числа от 0 до 9 - появяващи се в различни проценти. Това са съответно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Припомнете си, че за да получите вероятностите, трябва да разделите процентните стойности на 100. Така получаваме 0,02; 0, 1 и т.н. Нека представим за дисперсията на произволенпример за стойност и математическо очакване за решаване на проблема.
Изчислете средноаритметичното, като използвате формулата, която помним от началното училище: 50/10=5.
Сега нека преведем вероятностите в броя на резултатите "на парчета", за да улесним преброяването. Получаваме 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. Изваждаме средноаритметичната стойност от всяка получена стойност, след което квадратуваме всеки един от получените резултати. Вижте как да направите това, като използвате първия елемент като пример: 1 - 5=(-4). Освен това: (-4)(-4)=16. За други стойности направете тези операции сами. Ако сте направили всичко правилно, тогава след добавяне на всички междинни резултати ще получите 90.
Продължете да изчислявате дисперсията и средната стойност, като разделите 90 на N. Защо избираме N, а не N-1? Точно така, защото броят на извършените експерименти надхвърля 30. И така: 90/10=9. Получихме дисперсията. Ако получите различен номер, не се отчайвайте. Най-вероятно сте направили банална грешка в изчисленията. Проверете отново какво сте написали и всичко със сигурност ще си дойде на мястото.
Накрая, нека си спомним формулата за очакване. Няма да даваме всички изчисления, ще напишем само отговора, с който можете да проверите, след като завършите всички необходими процедури. Очакването ще бъде равно на 5, 48. Припомняме си само как да извършваме операции, като използваме примера на първите елементи: 00, 02 + 10, 1… и т.н. Както можете да видите, ние просто умножаваме стойността на резултата по неговата вероятност.
Отклонение
Друга концепция, тясно свързана с дисперсията и очакваната стойност естандартно отклонение. Обозначава се или с латинските букви sd, или с гръцката малка буква "сигма". Тази концепция показва как средно стойностите се отклоняват от централната характеристика. За да намерите стойността му, трябва да изчислите квадратния корен от дисперсията.
Ако изградите графика на нормално разпределение и искате да видите стойността на стандартното отклонение директно върху нея, това може да стане на няколко етапа. Вземете половината от изображението вляво или вдясно от режима (централна стойност), начертайте перпендикуляр на хоризонталната ос, така че площите на получените фигури да са равни. Стойността на сегмента между средата на разпределението и получената проекция върху хоризонталната ос ще бъде стандартното отклонение.
Софтуер
Както можете да видите от описанията на формулите и представените примери, изчисляването на дисперсията и математическото очакване не е най-лесната процедура от аритметична гледна точка. За да не губите време, има смисъл да използвате програмата, използвана във висшето образование - тя се нарича "R". Той има функции, които ви позволяват да изчислявате стойности за много понятия от статистиката и теорията на вероятностите.
Например, вие дефинирате вектор от стойности. Това се прави по следния начин: вектор <-c(1, 5, 2…). Сега, когато трябва да изчислите някои стойности за този вектор, вие пишете функция и я давате като аргумент. За да намерите дисперсията, ще трябва да използвате var. Пример за неяизползване: var(вектор). След това просто натиснете "enter" и ще получите резултата.
В заключение
Разликата и математическото очакване са основните понятия на теорията на вероятностите, без които е трудно да се изчисли нещо в бъдеще. В основния курс на лекциите в университетите те се разглеждат още в първите месеци на изучаване на предмета. Именно поради липсата на разбиране на тези прости понятия и невъзможността да се изчислят, много студенти веднага започват да изостават в програмата и по-късно получават слаби оценки в края на сесията, което ги лишава от стипендии.
Практикувайте поне една седмица по половин час на ден, като решавате проблеми, подобни на представените в тази статия. Тогава на всеки тест по теория на вероятностите ще се справите с примери без излишни съвети и листове за измама.
