Какво са променливите? Променлива в математиката

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

Значението на променливите в математиката е голямо, тъй като по време на нейното съществуване учените успяха да направят много открития в тази област и за да изложим накратко и ясно тази или онази теорема, ние използваме променливи, за да напишем съответните формули. Например, Питагоровата теорема за правоъгълен триъгълник: a² =b² + c^{2. Как да пишем всеки път при решаване на задача: според Питагоровата теорема квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на краката - записваме това с формула и всичко веднага става ясно.}

И така, тази статия ще обсъди какви са променливите, техните типове и свойства. Ще бъдат разгледани и различни математически изрази: неравенства, формули, системи и алгоритми за тяхното решаване.

Променлива концепция

На първо място, какво е променлива? Това е числова стойност, която може да приеме много стойности. Тя не може да бъде постоянна, тъй като в различни задачи и уравнения за удобство приемаме решенията катопроменливи различни числа, тоест, например, z е общо обозначение за всяка от величините, за които се приема. Обикновено те се означават с букви от латинската или гръцката азбука (x, y, a, b и т.н.).

Има различни видове променливи. Те задават както някои физически величини - път (S), време (t), така и просто неизвестни стойности в уравнения, функции и други изрази.

Например, има формула: S=Vt. Тук променливите означават определени количества, свързани с реалния свят - пътят, скоростта и времето.

И има уравнение от вида: 3x - 16=12x. Тук x вече се приема като абстрактно число, което има смисъл в тази нотация.

Видове количества

Количество означава нещо, което изразява свойствата на определен обект, вещество или явление. Например температура на въздуха, тегло на животно, процент витамини в таблетката - това са всички количества, чиито числови стойности могат да бъдат изчислени.

Всяко количество има свои собствени мерни единици, които заедно образуват система. Нарича се бройна система (SI).

Какво са променливите и константите? Разгледайте ги с конкретни примери.

Нека вземем праволинейно равномерно движение. Точка в пространството се движи със същата скорост всеки път. Тоест времето и разстоянието се променят, но скоростта остава същата. В този пример времето и разстоянието са променливи, а скоростта е постоянна.

Или, например, “pi”. Това е ирационално число, което продължава без да се повтаряпоредица от цифри и не може да се запише изцяло, така че в математиката се изразява с общоприет символ, който приема само стойността на дадена безкрайна дроб. Тоест „pi“е постоянна стойност.

История

Историята на нотацията на променливите започва през седемнадесети век с учения Рене Декарт.

Той обозначи познатите стойности с първите букви от азбуката: a, b и т.н., а за неизвестните предложи да се използват последните букви: x, y, z. Прави впечатление, че Декарт смята такива променливи за неотрицателни числа и когато се сблъсква с отрицателни параметри, той поставя знак минус пред променливата или, ако не се знае какъв знак е числото, елипса. Но с течение на времето имената на променливите започнаха да означават числа от всякакъв знак и това започна от математика Йохан Худе.

С променливи изчисленията в математиката са по-лесни за решаване, защото например как решаваме биквадратни уравнения сега? Въвеждаме променлива. Например:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

За x2 вземаме малко k и уравнението става ясно:

x2=k, за k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Това е, което въвеждането на променливи носи в математиката.

Неравенства, примери за решения

Неравенството е запис, в който два математически израза или две числа са свързани със знаци за сравнение:, ≦, ≧. Те са строги и се обозначават със знаци или нестроги със знаци ≦, ≧.

За първи път въведени тези знациТомас Хариът. След смъртта на Томас книгата му с тези обозначения беше публикувана, математиците ги харесаха и с течение на времето те станаха широко използвани в математическите изчисления.

Има няколко правила, които да следвате, когато решавате неравенства с единична променлива:

Когато прехвърляте число от една част на неравенството към друга, сменете знака му на противоположния.
При умножение или разделяне на части от неравенство с отрицателно число, техните знаци се обръщат.
Ако умножите или разделите двете страни на неравенството с положително число, ще получите неравенство, равно на първоначалното.

Решаването на неравенство означава намиране на всички валидни стойности за променлива.

Пример за единична променлива:

10x - 50 > 150

Решаваме го като нормално линейно уравнение - преместваме членовете с променлива наляво, без променлива - вдясно и даваме подобни термини:

10x > 200

Разделяме двете страни на неравенството на 10 и получаваме:

x > 20

За по-голяма яснота, в примера за решаване на неравенство с една променлива, начертайте числова права, маркирайте пробитата точка 20 върху нея, тъй като неравенството е строго и това число не е включено в набора от неговите решения.

Решението на това неравенство е интервалът (20; +∞).

Решаването на нестрого неравенство се извършва по същия начин като строго:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Но има едно изключение. Запис от формата x ≧ 5 трябва да се разбира по следния начин: x е по-голямо или равно на пет, което означавачислото пет е включено в множеството от всички решения на неравенството, тоест при записване на отговора поставяме квадратна скоба пред числото пет.

x ∈ [5; +∞)

Квадратни неравенства

Ако вземем квадратно уравнение от вида ax2 + bx +c=0 и променим знака за равенство на знака за неравенство в него, тогава съответно ще получим квадратно неравенство.

За да решите квадратно неравенство, трябва да можете да решавате квадратни уравнения.

y=ax2 + bx + c е квадратична функция. Можем да го решим с помощта на дискриминанта или с помощта на теоремата на Виета. Припомнете си как се решават тези уравнения:

1) y=x2 + 12x + 11 - функцията е парабола. Неговите клонове са насочени нагоре, тъй като знакът на коефициент "a" е положителен.

2) x2 + 12x + 11=0 - се равнява на нула и се решава с помощта на дискриминанта.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 корена

Съгласно формулата на корените на квадратното уравнение получаваме:

x₁ =-1, x_2=-11

Или бихте могли да решите това уравнение с помощта на теоремата на Виета:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Използвайки метода за избор, получаваме същите корени на уравнението.

Парабола

И така, първият начин за решаване на квадратно неравенство е парабола. Алгоритъмът за решаването му е както следва:

1. Определете къде са насочени клоните на параболата.

2. Приравнете функцията към нула и намерете корените на уравнението.

3. Изграждаме числова права, маркираме корените върху нея, рисуваме парабола и намираме празнината, от която се нуждаем, в зависимост от знака на неравенството.

Решете неравенството x2 + x - 12 > 0

Изписване като функция:

1) y=x2 + x - 12 - парабола, разклонява се нагоре.

Задаване на нула.

2) x2 + x -12=0

След това решаваме като квадратно уравнение и намираме нулите на функцията:

x₁ =3, x_2=-4

3) Начертайте числова права с точки 3 и -4 върху нея. Параболата ще премине през тях, ще се разклони и отговорът на неравенството ще бъде набор от положителни стойности, тоест (-∞; -4), (3; +∞).

Метод на интервали

Вторият начин е методът на разстояние. Алгоритъм за решаването му:

1. Намерете корените на уравнението, за което неравенството е равно на нула.

2. Отбелязваме ги на числовата права. По този начин той е разделен на няколко интервала.

3. Определете знака на всеки интервал.

4. Поставяме знаци на останалите интервали, като ги сменяме след един.

Решете неравенството (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Неравенство нули: 4, 5 и -7.

2) Начертайте ги на числовата линия.

3) Определете знаците на интервалите.

Отговор: (-∞; -7]; [4; 5].

Решете още едно неравенство: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Неравенство нули: 0, 2, -2 и 1.

2. Маркирайте ги на числовата линия.

3. Определете интервалните знаци.

Редата е разделена на интервали - от -2 до 0, от 0 до 1, от 1 до 2.

Вземете стойността на първия интервал - (-1). Заместете в неравенството. С тази стойност неравенството става положително, което означава, че знакът на този интервал ще бъде +.

По-нататък, започвайки от първата празнина, подреждаме знаците, като ги сменяме след един.

Неравенството е по-голямо от нула, тоест трябва да намерите набор от положителни стойности на реда.

Отговор: (-2; 0), (1; 2).

Системи от уравнения

Система от уравнения с две променливи е две уравнения, свързани с къдрава скоба, за които е необходимо да се намери общо решение.

Системите могат да бъдат еквивалентни, ако общото решение на една от тях е решението на другата, или и двете нямат решения.

Ще изучаваме решението на системи от уравнения с две променливи. Има два начина за решаването им - методът на заместване или алгебричният метод.

Алгебричен метод

За да решите системата, показана на снимката, използвайки този метод, първо трябва да умножите една от частите й по такова число, така че по-късно да можете взаимно да отмените една променлива от двете части на уравнението. Тук умножаваме по три, начертаваме линия под системата и събираме нейните части. В резултат на това x стават еднакви по модул, но противоположни по знак и ги намаляваме. След това получаваме линейно уравнение с една променлива и го решаваме.

Намерихме Y, но не можем да спрем дотук, защото все още не сме намерили X. ЗаместителY до частта, от която ще бъде удобно да изтеглите X, например:

-x + 5y=8, с y=1

-x + 5=8

Решете полученото уравнение и намерете x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Основното в решението на системата е да запишете правилно отговора. Много студенти правят грешката да пишат:

Отговор: -3, 1.

Но това е грешен запис. В крайна сметка, както вече беше споменато по-горе, когато решаваме система от уравнения, ние търсим общо решение за нейните части. Правилният отговор би бил:

(-3; 1)