Една от аксиомите на геометрията гласи, че през всякакви две точки е възможно да се начертае една права линия. Тази аксиома свидетелства, че съществува уникален числов израз, който еднозначно описва посочения едномерен геометричен обект. Разгледайте в статията въпроса как да напишете уравнението на права линия, минаваща през две точки.
Какво е точка и права?
Преди да се разгледа въпроса за конструиране в пространството и на равнината на права линия на уравнение, минаваща през двойка различни точки, трябва да се дефинират посочените геометрични обекти.
Точка се определя еднозначно от набор от координати в дадена система от координатни оси. Освен тях няма повече характеристики за точката. Тя е обект с нулево измерение.
Когато говорим за права линия, всеки човек си представя линия, изобразена на бял лист хартия. В същото време е възможно да се даде точна геометрична дефинициятози обект. Правата линия е такава колекция от точки, за които връзката на всяка от тях с всички останали ще даде набор от паралелни вектори.
Това определение се използва при задаване на векторното уравнение на права линия, което ще бъде обсъдено по-долу.
Тъй като всяка линия може да бъде маркирана с сегмент с произволна дължина, се казва, че е едноизмерен геометричен обект.
Векторна функция с числа
Уравнение през две точки от минаваща права линия може да бъде написано в различни форми. В триизмерни и двумерни пространства основният и интуитивно разбираем числов израз е вектор.
Да приемем, че има насочен сегмент u¯(a; b; c). В 3D пространство векторът u¯ може да започне от всяка точка, така че неговите координати определят безкраен набор от паралелни вектори. Ако обаче изберем конкретна точка P(x0; y0; z0) и поставим то като начало на вектора u¯, тогава, умножавайки този вектор по произволно реално число λ, може да се получат всички точки от една права линия в пространството. Тоест, векторното уравнение ще бъде записано като:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Очевидно, за случая в равнината, числовата функция приема формата:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Предимството на този тип уравнение в сравнение с другите (в сегменти, канонични,обща форма) се крие във факта, че съдържа изрично координатите на вектора на посоката. Последното често се използва за определяне дали линиите са успоредни или перпендикулярни.
Общо в сегменти и канонична функция за права линия в двуизмерно пространство
Когато решавате задачи, понякога трябва да напишете уравнението на права линия, минаваща през две точки в определена, специфична форма. Следователно трябва да бъдат дадени други начини за определяне на този геометричен обект в двуизмерно пространство (за простота разглеждаме случая на равнината).
Нека започнем с общо уравнение. Има формата:
Ax + By + C=0
По правило на равнината уравнението на права линия се записва в този вид, само y е изрично дефинирано чрез x.
Сега трансформирайте израза по-горе, както следва:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Този израз се нарича уравнение в сегменти, тъй като знаменателят за всяка променлива показва колко дълго отсечката от линията се отрязва на съответната координатна ос спрямо началната точка (0; 0).
Остава да дадем пример за каноничното уравнение. За да направим това, ние записваме векторното равенство изрично:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Нека изразим параметъра λ от тук и да приравним получените равенства:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Последното равенство се нарича уравнение в канонична или симетрична форма.
Всеки от тях може да се преобразува във вектор и обратно.
Уравнението на права линия, минаваща през две точки: техника на компилация
Обратно към въпроса на статията. Да предположим, че има две точки в пространството:
M(x1; y1; z1) и N(x 2; y2; z2)
Единствената права линия минава през тях, чието уравнение е много лесно да се състави във векторна форма. За да направим това, изчисляваме координатите на насочения сегмент MN¯, имаме:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Не е трудно да се досетим, че този вектор ще бъде водачът за правата линия, чието уравнение трябва да се получи. Знаейки, че той също преминава през M и N, можете да използвате координатите на всеки от тях за векторен израз. Тогава желаното уравнение приема формата:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
За случая в двумерно пространство получаваме подобно равенство без участието на променливата z.
Веднага след като е написано векторното равенство за реда, то може да бъде преведено във всяка друга форма, която изисква въпросът за проблема.
Задача:напишете общо уравнение
Известно е, че права линия минава през точките с координати (-1; 4) и (3; 2). Необходимо е да се състави уравнението на права линия, минаваща през тях, в общ вид, изразяваща y чрез x.
За да решим проблема, първо записваме уравнението във векторна форма. Координатите на вектора (водач) са:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Тогава векторната форма на уравнението на правата линия е следната:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Остава да го напишем в общ вид във формата y(x). Пренаписваме това равенство изрично, изразяваме параметъра λ и го изключваме от уравнението:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
От полученото канонично уравнение изразяваме y и стигаме до отговора на въпроса на задачата:
y=-0,5x + 3,5
Валидността на това равенство може да се провери чрез заместване на координатите на точките, посочени в формулировката на проблема.
Проблем: права линия, минаваща през центъра на сегмента
Сега нека решим един интересен проблем. Да предположим, че са дадени две точки M(2; 1) и N(5; 0). Известно е, че права линия минава през средата на отсечката, която свързва точките и е перпендикулярна на нея. Напишете уравнението на права линия, минаваща през средата на отсечката във векторна форма.
Желаният числов израз може да се формира чрез изчисляване на координатата на този център и определяне на вектора на посоката, койтосегментът прави ъгъл 90o.
Средната точка на сегмента е:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Сега нека изчислим координатите на вектора MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Тъй като векторът на посоката за желаната линия е перпендикулярен на MN¯, техният скаларен продукт е равен на нула. Това ви позволява да изчислите неизвестните координати (a; b) на вектора на управление:
a3 - b=0=>
b=3a
Сега напишете векторното уравнение:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Тук сме заменили продукта aλ с нов параметър β.
Така направихме уравнението на права линия, минаваща през центъра на отсечката.
