Познаването на разстоянието от точка до равнина или до права линия ви позволява да изчислите обема и повърхността на фигурите в пространството. Изчисляването на това разстояние в геометрията се извършва с помощта на съответните уравнения за посочените геометрични обекти. В статията ще покажем какви формули могат да се използват за определянето му.
Линия и равнинни уравнения
Преди да дадем формули за определяне на разстоянието от точка до равнина и до права, нека покажем какви уравнения описват тези обекти.
За дефиниране на точка се използва набор от координати в дадена система от координатни оси. Тук ще разгледаме само декартовата правоъгълна система, в която осите имат еднакви единични вектори и са взаимно перпендикулярни. На равнина произволна точка се описва с две координати, в пространството - с три.
Различни видове уравнения се използват за дефиниране на права линия. В съответствие с темата на статията ви представямесамо две от тях, които се използват в двуизмерно пространство за дефиниране на линии.
Векторно уравнение. Има следното обозначение:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Първият член тук представлява координатите на известна точка, лежаща на правата. Вторият член е векторните координати на посоката, умножени по произволно число λ.
Общо уравнение. Неговото обозначение е както следва:
Ax + By + C=0;
където A, B, C са някои коефициенти.
Общото уравнение се използва по-често за определяне на линии в равнина, но за да се намери разстоянието от точка до права в равнина, е по-удобно да се работи с векторен израз.
Равнина в триизмерно пространство също може да бъде написана по няколко математически начина. Въпреки това най-често в задачите има общо уравнение, което се записва по следния начин:
Ax + By + Cz + D=0.
Предимството на тази нотация спрямо останалите е, че тя съдържа изрично координатите на вектор, перпендикулярен на равнината. Този вектор се нарича водач за него, той съвпада с посоката на нормалата и координатите му са равни на (A; B; C).
Забележете, че горният израз съвпада с формата на записване на общо уравнение за права линия в двуизмерно пространство, така че когато решавате проблеми, трябва да внимавате да не объркате тези геометрични обекти.
Разстояние между точка и линия
Нека покажем как да изчислим разстоянието между права линия иточка в двуизмерно пространство.
Нека има някаква точка Q(x1; y1) и права, дадена от:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Разстоянието между права и точка се разбира като дължината на отсечка, перпендикулярна на тази права, спусната върху нея от точка Q.
Преди да изчислите това разстояние, трябва да замените Q координатите в това уравнение. Ако го удовлетворяват, тогава Q принадлежи на дадена права и съответното разстояние е равно на нула. Ако координатите на точката не водят до равенство, тогава разстоянието между геометричните обекти е различно от нула. Може да се изчисли по формулата:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Тук P е произволна точка от правата линия, която е началото на вектора PQ¯. Векторът u¯ е направляващ сегмент за права линия, тоест координатите му са (a; b).
Използването на тази формула изисква способността да се изчисли кръстосаното произведение в числителя.
Проблем с точка и права
Да кажем, че трябва да намерите разстоянието между Q(-3; 1) и права линия, която отговаря на уравнението:
y=5x -2.
Поставяйки координатите на Q в израза, можем да се уверим, че Q не лежи на правата. Можете да приложите формулата за d, дадена в параграфа по-горе, ако представите това уравнение във векторна форма. Нека го направим така:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Сега нека вземем която и да е точка от тази линия, например (0; -2), и да изградим вектор, започващ от нея и завършващ на Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Сега приложете формулата за определяне на разстоянието, получаваме:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Разстояние от точка до равнина
Както в случая на права линия, разстоянието между равнина и точка в пространството се разбира като дължината на отсечката, която от дадена точка се спуска перпендикулярно на равнината и я пресича.
В пространството една точка се дава от три координати. Ако те са равни на (x1; y1; z1), тогава разстоянието между равнина и тази точка може да се изчисли по формулата:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Забележете, че използването на формулата ви позволява да намерите само разстоянието от равнината до правата. За да се намерят координатите на точката, в която перпендикулярен сегмент пресича равнина, е необходимо да се напише уравнение за правата, на която принадлежи този сегмент, и след това да се намери обща точка за тази права и дадена равнина.
Проблем с равнина и точка
Намерете разстоянието от точка до равнина, ако е известно, че точката има координати (3; -1; 2) и равнината е дадена с:
-y + 3z=0.
За да използваме съответната формула, първо изписваме коефициентите зададен самолет. Тъй като променливата x и свободният член липсват, коефициентите A и D са равни на нула. Имаме:
A=0; B=-1; С=3; D=0.
Лесно е да се покаже, че тази равнина минава през началото и оста x й принадлежи.
Заместете координатите на точката и коефициентите на равнината във формулата за разстояние d, получаваме:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Забележете, че ако промените x-координата на точка, тогава разстоянието d няма да се промени. Този факт означава, че множеството точки (x; -1; 2) образува права линия, успоредна на дадената равнина.
