Ъгли между равнините. Как да определим ъгъла между равнините

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-02 17:41

При решаване на геометрични задачи в пространството често има такива, при които е необходимо да се изчислят ъглите между различните пространствени обекти. В тази статия ще разгледаме въпроса за намирането на ъгли между равнините и между тях и права линия.

Линия в пространството

Известно е, че абсолютно всяка права линия в равнината може да бъде дефинирана със следното равенство:

y=ax + b

Тук a и b са някои числа. Ако представим права линия в пространството със същия израз, тогава получаваме равнина, успоредна на оста z. За математическата дефиниция на пространствената линия се използва различен метод на решение, отколкото в двумерния случай. Състои се в използването на концепцията за "вектор на посоката".

Насочващият вектор на права линия показва нейната ориентация в пространството. Този параметър принадлежи на линията. Тъй като има безкраен набор от вектори, успоредни в пространството, то за да се определи еднозначно разглеждания геометричен обект, е необходимо също така да се знаят координатите на принадлежащата към него точка.

Да приемем, че иматочка P(x₀; y₀; z_{0) и вектор на посока v¯(a; b; c), тогава уравнението на права линия може да бъде дадено, както следва:}

(x; y; z)=P + αv¯ или

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Този израз се нарича параметрично векторно уравнение на права линия. Коефициентът α е параметър, който може да приема абсолютно всякакви реални стойности. Координатите на права могат да бъдат представени изрично чрез разширяване на това равенство:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

Уравнение на равнината

Има няколко форми за писане на уравнение за равнина в пространството. Тук ще разгледаме един от тях, който най-често се използва при изчисляване на ъглите между две равнини или между една от тях и права линия.

Ако е известен вектор n¯(A; B; C), който е перпендикулярен на желаната равнина, и точката P(x₀; y ₀; z_{0), което му принадлежи, тогава общото уравнение за последното е:}

Ax + By + Cz + D=0, където D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Пропуснахме извеждането на този израз, който е доста прост. Тук само отбелязваме, че, знаейки коефициентите на променливите в уравнението на равнината, може лесно да се намерят всички вектори, които са перпендикулярни на него. Последните се наричат нормали и се използват при изчисляване на ъглите между наклонената и равнината и междупроизволни аналози.

Местоположението на равнините и формулата за ъгъла между тях

Да кажем, че има два самолета. Какви са вариантите за тяхното взаимно положение в пространството. Тъй като равнината има две безкрайни измерения и едно нула, са възможни само две опции за тяхната взаимна ориентация:

те ще бъдат успоредни един на друг;
те може да се припокриват.

Ъгълът между равнините е индексът между техните вектори на посоката, т.е. между техните нормали n₁¯ и n_2¯.

Очевидно, ако те са успоредни на равнината, тогава ъгълът на пресичане между тях е нула. Ако се пресичат, то е различно от нула, но винаги рязко. Специален случай на пресичане ще бъде ъгълът 90o, когато равнините са взаимно перпендикулярни една на друга.

Ъгълът α между n₁¯ и n_{2¯ лесно се определя от скаларното произведение на тези вектори. Тоест формулата се изпълнява:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Да приемем, че координатите на тези вектори са: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). След това, използвайки формулите за изчисляване на скаларното произведение и модулите на векторите чрез техните координати, изразът по-горе може да бъде пренаписан като:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Модулът в числителя се появи, защото за изключване на стойностите на тъпите ъгли.

Примери за решаване на задачи за определяне на ъгъла на пресичане на равнините

Знаейки как да намерим ъгъла между равнините, ще решим следния проблем. Дадени са две равнини, чиито уравнения са:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Какъв е ъгълът между равнините?

За да отговорим на въпроса на задачата, нека припомним, че коефициентите на променливите в общото уравнение на равнината са координатите на направляващия вектор. За посочените равнини имаме следните координати на техните нормали:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Сега намираме скаларния продукт на тези вектори и техните модули, имаме:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Сега можете да замените намерените числа във формулата, дадена в предишния параграф. Получаваме:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Резултантната стойност съответства на остър ъгъл на пресичане на равнините, посочени в условиетозадачи.

Сега разгледайте друг пример. Дадени са два самолета:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Пресичат ли се? Нека напишем стойностите на координатите на техните вектори на посоката, да изчислим техния скаларен продукт и модули:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Тогава ъгълът на пресичане е:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Този ъгъл показва, че равнините не се пресичат, а са успоредни. Лесно е да се провери фактът, че те не съвпадат един с друг. Да вземем за това произволна точка, принадлежаща на първата от тях, например P(0; 3; 2). Заместете координатите му във второто уравнение, получаваме:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

Тоест, точката P принадлежи само на първата равнина.

Значи две равнини са успоредни, когато техните нормали са.

Равнина и права линия

В случай на разглеждане на относителното положение между равнина и права линия, има няколко опции повече, отколкото при две равнини. Този факт е свързан с факта, че правата линия е едномерен обект. Линията и равнината могат да бъдат:

взаимно успоредни, в този случай равнината не пресича правата;
последното може да принадлежи на равнината, но също така ще бъде успоредно на нея;
и двата обекта могатпресичат се под някакъв ъгъл.

Нека първо разгледаме последния случай, тъй като той изисква въвеждането на концепцията за ъгъла на пресичане.

Линия и равнина, ъгълът между тях

Ако права линия пресича равнина, тогава тя се нарича наклонена спрямо нея. Точката на пресичане се нарича основата на наклона. За да се определи ъгълът между тези геометрични обекти, е необходимо да се спусне прав перпендикуляр на равнината от всяка точка. Тогава пресечната точка на перпендикуляра с равнината и мястото на пресичане на наклонената линия с нея образуват права линия. Последното се нарича проекция на оригиналната права върху разглежданата равнина. Острият ъгъл между линията и нейната проекция е необходимият.

Донякъде объркващо определение на ъгъла между равнина и наклон ще изясни фигурата по-долу.

Тук ъгълът ABO е ъгълът между правата AB и равнината a.

За да запишете формулата за него, помислете за пример. Нека има права линия и равнина, които се описват с уравненията:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Лесно е да се изчисли желаният ъгъл за тези обекти, ако намерите скаларното произведение между векторите на посоката на правата и равнината. Полученият остър ъгъл трябва да се извади от 90o, след което се получава между права линия и равнина.

Фигурата по-горе показва описания алгоритъм за намиранеразглеждан ъгъл. Тук β е ъгълът между нормата и правата, а α е между правата и нейната проекция върху равнината. Вижда се, че тяхната сума е 90o.

По-горе беше представена формула, която отговаря на въпроса как да се намери ъгъл между равнините. Сега даваме съответния израз за случая на права линия и равнина:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

Модулът във формулата позволява да се изчисляват само остри ъгли. Функцията арксинус се появи вместо арккосинус поради използването на съответната формула за редукция между тригонометрични функции (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

Проблем: равнина пресича права линия

Сега нека покажем как да работим с горната формула. Нека решим проблема: необходимо е да се изчисли ъгълът между оста y и равнината, дадена от уравнението:

y - z + 12=0

Този самолет е показан на снимката.

Можете да видите, че пресича осите y и z съответно в точките (0; -12; 0) и (0; 0; 12) и е успоредна на оста x.

Векторът на посоката на линията y има координати (0; 1; 0). Вектор, перпендикулярен на дадена равнина, се характеризира с координати (0; 1; -1). Прилагаме формулата за ъгъла на пресичане на права линия и равнина, получаваме:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Проблем: права линия, успоредна на равнината

Сега нека решимподобен на предишния проблем, чийто въпрос е поставен по различен начин. Уравненията на равнината и правата линия са известни:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

Необходимо е да разберете дали тези геометрични обекти са успоредни един на друг.

Имаме два вектора: посоката на правата линия е (0; 2; 2) и посоката на равнината е (1; 1; -1). Намерете техния точков продукт:

01 + 12 - 12=0

Получената нула показва, че ъгълът между тези вектори е 90o, което доказва, че правата и равнината са успоредни.

Сега нека проверим дали тази права е само успоредна или също лежи в равнината. За да направите това, изберете произволна точка на линията и проверете дали тя принадлежи на равнината. Например, нека вземем λ=0, тогава точката P(1; 0; 0) принадлежи на правата. Заместете в уравнението на равнината P:

1 - 3=-2 ≠ 0

Точката P не принадлежи на равнината, което означава, че цялата права също не лежи в нея.

Къде е важно да се знаят ъглите между разглежданите геометрични обекти?

Горните формули и примери за решаване на проблеми представляват не само теоретичен интерес. Те често се използват за определяне на важни физически количества на реални триизмерни фигури, като призми или пирамиди. Важно е да можете да определите ъгъла между равнините при изчисляване на обемите на фигурите и площите на техните повърхности. Освен това, ако в случай на права призма е възможно да не се използват тези формули за определянеопределени стойности, то за всеки тип пирамида тяхното използване е неизбежно.

По-долу разгледайте пример за използване на горната теория за определяне на ъглите на пирамида с квадратна основа.

Пирамида и нейните ъгли

Фигурата по-долу показва пирамида, в основата на която лежи квадрат със страна a. Височината на фигурата е h. Трябва да намерите два ъгъла:

между страничната повърхност и основата;
между страничното ребро и основата.

За да решите проблема, първо трябва да въведете координатната система и да определите параметрите на съответните върхове. Фигурата показва, че началото на координатите съвпада с точката в центъра на квадратната основа. В този случай основната равнина се описва с уравнението:

z=0

Тоест, за всякакви x и y стойността на третата координата винаги е нула. Страничната равнина ABC пресича оста z в точка B(0; 0; h), а оста y в точката с координати (0; a/2; 0). Не пресича оста х. Това означава, че уравнението на равнината ABC може да бъде записано като:

y / (a / 2) + z / h=1 или

2hy + az - ah=0

Вектор AB¯ е страничен ръб. Неговите начални и крайни координати са: A(a/2; a/2; 0) и B(0; 0; h). Тогава координатите на самия вектор:

AB¯(-a/2; -a/2; h)

Намерихме всички необходими уравнения и вектори. Сега остава да използваме разглежданите формули.

Първо изчисляваме в пирамидата ъгъла между равнините на основатаи отстрани. Съответните нормални вектори са: n₁¯(0; 0; 1) и n_{2¯(0; 2h; a). Тогава ъгълът ще бъде:}